ITALIANO

- Elementi di Teoria degli Insiemi
- Numeri Naturali e Principio di Induzione
- Aritmetica dei Numeri Interi
- Aritmetica Modulare
- Elementi di Teoria dei Gruppi
- Anelli di Polinomi ed Equazioni Algebriche

• M. Artin, Algebra, Boringhieri, Torino, 1997.
• H. Davenport, Aritmetica Superiore, Zanichelli, Bologna, 1995.
• S. Franciosi, F. de Giovanni, Elementi di Algebra, Aracne, Roma, 1995.
• M. R. Dixon, L. A. Kurdachenko, I. Y. Subbotin, Algebra and Number Theory: An Integrated Approach, Wiley, 2010.
• D.J.S. Robinson, An Introduction to Abstract Algebra, De Gruyter, Berlin, New York, 2003.
• A. Russo, Numeri, Gruppi, Polinomi – Un’introduzione all’Algebra, Aracne, 2013.

- Conoscenza e capacità di comprensione

Il corso intende fornire un’introduzione ai fondamenti e ai metodi dell’algebra moderna: teoria degli insiemi, aritmetica dei numeri interi, aritmetica modulare, strutture algebriche fondamentali (gruppi, anelli, campi), polinomi ed equazioni.

- Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Il corso ha come obiettivo quello di rendere lo studente consapevole del carattere pervasivo degli strumenti dell’algebra moderna in modo da saperli utilizzare nel prosieguo dei suoi studi in contesti matematici non necessariamente algebrici.

- Abilità comunicative

Il corso intende favorire la capacità dello studente di comunicare in modo chiaro e rigoroso quanto acquisito, sia oralmente che attraverso relazioni scritte.

Non sono richiesti particolari prerequisiti.

Lezioni frontali in aula ed esercitazioni interattive.

Superamento di una prova scritta e di una prova orale. La prova scritta è della durata di due ore ed è costituita da esercizi concernenti gli argomenti trattati al corso. Il superamento della prova scritta è condizione necessaria per l’accesso alla prova orale. La prova scritta si intende superata se lo studente svolge correttamente almeno la metà degli esercizi proposti, scelti in modo da coprire parti diverse del programma del corso. La prova orale è valutata in trentesimi ed ha un peso sul voto finale per circa l’ottanta per cento.

- Teoria degli Insiemi. Antinomia di Russell. Sottoinsiemi di un insieme. Insieme delle parti. Intersezione, unione, differenza e prodotto cartesiano di insiemi. Proprietà delle operazioni fra insiemi: leggi di de Morgan. Corrispondenze fra insiemi. Applicazioni fra insiemi. Applicazioni iniettive, suriettive, biettive e loro caratterizzazioni. Composizione di applicazioni. Applicazione inversa. Relazioni binarie. Proprietà delle relazioni binarie. Relazioni d’ordine: definizione ed esempi. Insiemi totalmente ordinati e bene ordinati. Assioma della scelta. Teorema di Zermelo. Maggioranti, minoranti ed insiemi ordinati completi. Non completezza di Q e completezza di R. Elementi minimali e massimali. Insiemi induttivi. Lemma di Zorn. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza ed insieme quoziente. Nucleo di un’applicazione.
Insiemi Finiti ed Infiniti, Numeri Naturali e Principio di Induzione - Relazione di equipotenza fra insiemi. Definizione di insieme infinito e di insieme finito. Assioma di Cantor. Insiemi naturalmente ordinati. L’insieme N dei numeri naturali. Buon ordinamento di N. Principio di Induzione ed applicazioni. Numeri di Fibonacci. Numeri di Fermat. Sistemi di numerazione. Definizione di ordine di un insieme finito. Determinazione dell’ordine dell’insieme delle applicazioni fra due insiemi finiti e dell’insieme delle parti di un insieme finito. Coefficienti binomiali. Formula del binomio di Newton. Insiemi numerabili. Numerabilità di N, Z e Q (s.d). Definizione di numero cardinale. Il primo cardinale transfinito. Confronto fra i numeri cardinali. Teorema di Cantor-Schroder-Bernstein. Teorema di Hartogs (s.d.). Esistenza di numeri cardinali sempre “più grandi”: Teorema di Cantor. La potenza del continuo. Ipotesi del Continuo. Esempi di insiemi aventi la potenza del continuo.

- Aritmetica in Z. Alcuni assiomi sui numeri interi. Legge di cancellazione rispetto all’addizione di Z. Relazione d’ordine naturale in Z e conseguenze. Regola dei segni. Legge di annullamento del prodotto. Divisibilità in Z: definizioni e proprietà principali. Algoritmo della divisione euclidea. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Identità di Bezout. Algoritmo delle divisioni successive. Equazioni diofantee lineari. Numeri primi: Crivello di Eratostene, Postulato di Bertrand, primi di Mersenne e numeri perfetti, enunciato del teorema sui numeri primi, teorema di Euclide sull’infinità dei numeri primi (dimostrazione di Euclide e dimostrazione basata sui numeri di Fermat). Teorema fondamentale dell’aritmetica e conseguenze.

- Aritmetica modulare. Congruenza modulo un numero intero: definizione ed esempi. Classi dei resti modulo un intero. Relazioni di compatibilità. L’anello Zn degli interi modulo n. Il gruppo degli invertibili modulo n. Divisori dello zero in Zn. Congruenza modulo un numero primo. Funzione di Eulero e sue proprietà. Criteri di divisibilità. Equazioni congruenziali. Teorema cinese del resto. Teorema di Wilson e conseguenze (infinità dei numeri primi delle forme 4k+1 e 4k-1). Teorema di Fermat-Eulero. Piccolo Teorema di Fermat . Applicazione del Piccolo teorema di Fermat alla crittografia: sistema crittografico RSA (facoltativo).

- Teoria dei Gruppi. Operazioni in un insieme: definizioni ed esempi. Strutture algebriche ad un’operazione interna: semigruppi, monoidi e gruppi. Il monoide delle applicazioni di un insieme in sé. Elemento neutro ed elementi simmetrizzabili. Gruppo degli elementi simmetrizzabili di un monoide. Esempi: gruppo degli invertibili modulo n, gruppo generale lineare, gruppo simmetrico. Elementi cancellabili a destra e a sinistra. Elementi regolari e loro relazione con gli elementi simmetrizzabili di un monoide. Sottogruppi di un gruppo e loro caratterizzazione. I sottogruppi di (Z,+). Diagrammi di Hasse. Intersezione di sottogruppi. Sottogruppo generato da un insieme e sottogruppo generato da due sottogruppi. Prodotto di Frobenius di due sottogruppi. Sottogruppi permutabili. Laterali di un sottogruppo. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Formula di moltiplicazione degli indici e teorema di Poincarè. Periodo di un elemento: definizione e proprietà. Gruppi periodici, aperiodici e misti. Gruppi ciclici. Generatori di un gruppo ciclico. Caratterizzazione dei gruppi ciclici in termini di inversione forte del teorema di Lagrange. Radici n-esime dell’unità. Il gruppo C∞. Sottogruppi normali: definizione, esempi e caratterizzazione. Gruppo dei quaternioni. Centro e derivato di un gruppo. Gruppi semplici. Enunciato del Teorema di Jordan-Dickson sulla semplicità dei gruppi proiettivi speciali lineari. Gruppo quoziente. Sottogruppi di un gruppo quoziente. Omomorfismi di gruppi: definizione e proprietà principali. Monomorfismi ed epimorfismi. Epimorfismo canonico. Nucleo ed immagine di un omomorfismo. Isomorfismi di gruppi. Automorfo di un gruppo. Classificazione dei gruppi ciclici. Determinazione, a meno di isomorfismi, dei gruppi di ordine 4. Il gruppo di Klein. Teorema di omomorfismo ed applicazioni: teorema del doppio quoziente, teorema del parallelogramma. Nocciolo e chiusura normale di un sottogruppo. Determinazione, a meno di isomorfismi, dei gruppi di ordine 6. Gruppi di permutazioni: teorema di Cayley, caratterizzazione dei gruppi di permutazioni abeliani, supporto di una permutazione, permutazioni disgiunte, cicli, trasposizioni, decomposizione di una permutazione nel prodotto di cicli disgiunti, periodo di una permutazione, segno di una permutazione, permutazioni pari e dispari. Gruppi alterni. Espressione del gruppo alterno mediante i 3-cicli. Enunciato del teorema di Galois – Jordan sulla semplicità dei gruppi alterni di grado diverso da 4. Non inversione del teorema di Lagrange per il gruppo alterno A4. Derivato, centro e struttura normale del gruppo simmetrico. Simmetrie di poligoni regolari e gruppi di permutazioni: gruppi diedrali. Azione di un gruppo su un insieme e rappresentazioni permutazionali. Esempi: azioni per coniugazione. Orbite e stabilizzanti. Centralizzanti e normalizzanti. Teorema N/C. Equazione delle classi. p-gruppi. Proprietà del centro di un p-gruppo finito. Sottogruppi di Sylow dei gruppi finiti. Teorema di Sylow (s.d.). Alcune applicazioni del teorema di Sylow. Gruppi di ordine pq. Inversione del teorema di Lagrange nei gruppi abeliani finiti.

- Teoria degli Anelli. Anelli, domini di integrità, corpi e campi. Enunciato del teorema di Wedderburn. Corpo dei quaternioni. Sottoanelli ed ideali di un anello. Anello quoziente. Sottoanelli ed ideali generati da un insieme. Ideali ed anelli principali. Ideali massimali, ideali primi e loro caratterizzazioni. Ideali di Z e di Zn. Omomorfismi di anelli e teorema di omomorfismo.

- Anelli di Polinomi. Elementi algebrici e trascendenti: definizioni, esempi e caratterizzazioni. Enunciato dei Teoremi di Hermite, Lindemann e Gelfond. Campo dei numeri algebrici: enunciato del teorema di Cantor. Costruzione dell’anello dei polinomi a coefficienti in un anello commutativo unitario. Polinomi su un dominio di integrità: legge di moltiplicazione dei gradi, elementi invertibili e divisibilità. Divisione euclidea nell’anello dei polinomi su un campo. Principalità dell’anello dei polinomi su un campo. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Algoritmo delle divisioni successive per polinomi su un campo. Polinomi associati. Polinomi irriducibili. Criterio generale di irriducibilità per polinomi su un campo. Fattorialità dell’anello dei polinomi su un campo (s.d.). Alcuni criteri di irriducibilità: criteri di Eisenstein, del polinomio traslato Irriducibilità dei polinomi ciclotomici relativi ai numeri primi. Applicazioni polinomiali. Radici di un polinomio. Teorema di Ruffini e sua generalizzazione. Teorema di Cauchy sul numero delle radici di un polinomio. Sottogruppi finiti del gruppo moltiplicativo di un campo. Principio di identità dei polinomi. Polinomio fondamentale di un campo finito e sue proprietà. Determinazione delle radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Enunciato del Teorema fondamentale dell’algebra. Polinomi irriducibili a coefficienti interi, razionali, reali e complessi.

Italian

- Basic set theory
- Arithmetic
- Finite Arithmetic
- Basic Group Theory
- Rings and Polynomials

• M. Artin, Algebra, Boringhieri, Torino, 1997.
• H. Davenport, Aritmetica Superiore, Zanichelli, Bologna, 1995.
• S. Franciosi, F. de Giovanni, Elementi di Algebra, Aracne, Roma, 1995.
• M. R. Dixon, L. A. Kurdachenko, I. Y. Subbotin, Algebra and Number Theory: An Integrated Approach, Wiley, 2010.
• D.J.S. Robinson, An Introduction to Abstract Algebra, De Gruyter, Berlin, New York, 2003.
• A. Russo, Numeri, Gruppi, Polinomi – Un’introduzione all’Algebra, Aracne, 2013.

- Knowledge and understanding: The course aims to provide an introduction to abstract algebra (arithmetic of integers, modular arithmetic, groups, rings and polynomials).

- Applying knowledge and understanding: The course provides to show the role of algebra in modern mathematics and in its applications. Moreover, it investigates the aptitude to problem-solving and the ability to construct a mathematical proof.

No particular knowledge is assumed

Lectures and exercitations

Written and oral examinations

- Basic set theory: Sets and subsets. Relations: equivalence relations and partial orders.Functions. Cardinality.

- Arithmetic: Natural numbers. Induction. Division, divisors and prime numbers. Euclid’s theorem on
prime numbers. The fundamental theorem of arithmetic.

- Finite Arithmetic: Congruences. Arithmetic modn. The ring Z/nZ. Inverses modn. The theorems of
Fermat and Wilson. The chinese remainder theorem.

- Groups: Binary operations: semigroups, monoids and groups. Subgroups. Cyclic groups. Cosets
and Lagrange’s theorem. Normality, quotient groups and homomorphisms. Symmetric, alternating
and dihedral groups. Group actions and permutation representations. Orbits and stabilizers.
Applications to the structure of a group: Sylow’s theorems.

- Rings and Polynomials: Rings, subrings and ideals. Homomorphisms of rings. Integral domains,
fields and principal ideal domains. Rings of polynomials. The division algorithm. Factorization in
polynomial rings. Roots of a polynomial. The fundamental theorem of algebra.