ITALIANO

Introduzione alla topologia generale e alla topologia algebrica.

LIBRO DI TESTO
- Edoardo Sernesi, GEOMETRIA 2, Bollati Boringhieri, 1994.

MATERIALE DIDATTICO
- F.Mazzocca, APPUNTI DEL CORSO DI GEOMETRIA 3, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università della Campania “L.Vanvitelli”. http://www.francesco.mazzocca.name/Geometria3.pdf
- Edoardo Sernesi, CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICIE TOPOLOGICHE, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/GE30809/superfici.pdf .

ALTRI TESTI E ALTRO MATERIALE DIDATTICO CONSIGLIATI
- Allen Hatcher, ALGEBRAIC TOPOLOGY, Cambridge University Press, 2002 http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf .
- Seymour Lipschutz, TOPOLOGIA, McGraw-Hill, 1994.
- Bruno Martelli, CORSO DI TOPOLOGIA 2006, Appunti delle lezioni per il corso di ”Topologia e analisi complessa”, Università di Pisa.
http://www.dm.unipi.it/~martelli/didattica/matematica/2006/topologia.pdf .
- Gianluca Occhetta, NOTE DI TOPOLOGIA GENERALE E PRIMI ELEMENTI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA, Dipartimento di Matematica, Università di Trento.
http://www.science.unitn.it/~occhetta/studenti/disp4fc.pdf .

Conoscenza e capacità di comprensione:
Il corso si propone di introdurre lo studente al linguaggio, ai risultati fondamentali e ai metodi di base della topologia generale e della topologia algebrica. Sono anche proposti esempi di applicazioni dei metodi topologici ad altri campi della matematica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Il corso si propone di rendere lo studente capace di assimilare le conoscenze acquisite (risultati e metodi topologici) e di saperle utilizzare per studiare e risolvere problemi teorici e concreti nell’ambito della topologia e, se richiesto, in altri settori della matematica.

Superamento degli esami dei seguenti corsi: Analisi matematica 1, Algebra 1, Geometria 2.

64 0re di lezione frontale.

La verifica e la valutazione del livello di conoscenza da parte dello studente avviene attraverso un esame finale orale sugli argomenti riportati nel programma del corso.

Abilità comunicative:
Il corso intende favorire le capacità dello studente di esporre in modo chiaro e rigoroso le conoscenze acquisite e di saper comporre relazioni scritte in modo corretto, chiaro e, se necessario, conciso.
Autonomia di giudizio (making judgements) (insegnamenti Magistrali monografici in cui sono presenti attività seminariali):
Gli studenti sono guidati ad apprendere in maniera critica e responsabile e ad arricchire le proprie capacità di giudizio attraverso opportuni riferimenti bibliografici e siti web suggeriti dal docente.

Capacità di apprendere:
L’impostazione del corso intende fornire agli studenti gli strumenti metodologici e le capacità di apprendimento per poter proseguire con successo gli studi nell’ambito della topologia e, più in generale, delle teorie (matematiche e non) ad essa collegate.

ELEMENTI DI TOPOLOGIA GENERALE. Definizione di spazio topologico. Esempi notevoli di spazi topologici. Insiemi chiusi. Topologia di Zariski di Cn. Interno di un insieme. Intorni. Sistemi fondamentali di intorni. Basi. Punti di aderenza e di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi perfetti. Insiemi densi.
Frontiera di un insieme. Funzioni continue in un punto. Funzioni continue. Omeomorfismi.
Sottospazi di uno spazio topologico. Prodotto di spazi topologici. Spazi topologici quozienti.
Assiomi di separazione e di numerabilità . Spazi separabili.
Spazi metrici. Esempi di spazi metrici. Topologia indotta da una metrica. Spazi metrizzabili. Assiomi di numerabilità e di separazione negli spazi metrici. Sottospazi di uno spazio metrico. Successioni convergenti. Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi. Spazi topologici connessi. Connessione e connessione per poligonali in connessi in Rn. Spazi connessi e applicazioni continue. Componenti connesse.
Spazi topologici compatti. Spazi compatti e applicazioni continue. Compattezza in Rn.
ELEMENTI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA. Categorie e funtori. Esempi notevoli di categorie. Oggetti equivalenti ed equivalenze in una categoria. Sottocategorie. Il funtore “componenti connesse”.
Archi e lacci in uno spazio topologico. Lemma di incollamento. Concatenazione di archi e lacci. Connessione per archi. Sottospazi connessi e sottospazi stellati di Rn. Componenti connesse per archi. Omotopia (libera) tra mappe di uno spazio topologico in un altro. Omotopia lineare e insiemi convessi. Omotopia tra mappe costanti. L’omotopia sull’insieme delle mappe tra due spazi topologici è di equivalenza. Equivalenze omotopiche e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili e esempi notevoli. Omotopia di mappe tra coppie di spazi. Omotopia tra lacci. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico puntato. Indipendenza dal punto base del gruppo fondamentale per gli spazi connessi per archi. Funtorialità del gruppo fondamentale.
Gruppo fondamentale ed equivalenze omotopiche. Spazi semplicemente connessi. Esempi notevoli di spazi semplicemente connessi. Gruppo fondamentale della sfera n- dimensionale, n>1. Gruppo fondamentale della circonferenza. Teorema dell’invarianza della dimensione per R2. Teorema del punto fisso di Brouwer. Calcolo del gruppo fondamentale di sottospazi notevoli di Rn. Utilizzo del gruppo fondamentale per provare che due spazi non sono omeomorfi. Teorema fondamentale dell’algebra.

Italian

Introduction to general topology and to algebraic topology.

TEXTBOOK
- Edoardo Sernesi, GEOMETRIA 2, Bollati Boringhieri, 1994.

TEACHING MATERIALS
- F.Mazzocca, SLIDES OF THE COURSE, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università della Campania “L.Vanvitelli”. http://www.francesco.mazzocca.name/Geometria3.pdf
- Edoardo Sernesi, CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICIE TOPOLOGICHE, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/GE30809/superfici.pdf .

MORE READINGS
- Allen Hatcher, ALGEBRAIC TOPOLOGY, Cambridge University Press, 2002 http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf .
- Seymour Lipschutz, TOPOLOGIA, McGraw-Hill, 1994.
- Bruno Martelli, CORSO DI TOPOLOGIA 2006, Appunti delle lezioni per il corso di ”Topologia e analisi complessa”, Università di Pisa.
http://www.dm.unipi.it/~martelli/didattica/matematica/2006/topologia.pdf .
- Gianluca Occhetta, NOTE DI TOPOLOGIA GENERALE E PRIMI ELEMENTI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA, Dipartimento di Matematica, Università di Trento.
http://www.science.unitn.it/~occhetta/studenti/disp4fc.pdf .

Pass the exams of the following courses: Analysis 1, Algebra 1, Geometry 2.

64 hours of classroom lectures.

An oral final exam on the topics in the course program.

Topological spaces. Subspaces. Generating topologies. Continuity. Homeomorphisms. Convergence. Separation. Connectedness. Compact spaces. Product of topological spaces. Quotient spaces. Compact surfaces and their classification.
Categories and functors. Arcwise connectedness. Homotopy. The fundamental group. The fundamental group of the circle and some consequences. The fundamental theorem of algebra.