ITALIANO

• Misura di Lebesgue, funzioni misurabili secondo Lebesgue ed integrale di Lebesgue
• Misura ed integrazione astratti
• Spazi L^p
• Misure prodotto
• Funzioni a variazione limitata e funzioni assolutamente continue
• Misure con segno

G. De Barra, Measure Theory and Integration

P. Cannarsa & T. D’Aprile, Introduzione alla Teoria della Misura ed all’Analisi Funzionale

T. Tao, An introduction to measure theory

G.B. Folland, Real analysis: modern techniques and their applications

E.M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis. Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces

W. Rudin, Real and complex analysis

H.L. Royden & P.M. Fitzpartick, Real Analysis

A.N. Kolmogorov & S.V. Fomin, Measure, Lebesgue Integrals and Hilbert Spaces

Vedere anche:
T. Tao, Analysis II (cap. 7 e 8)

N. Fusco, P. Marcellini & C. Sbordone, Analisi Matematica Due

W. Rudin, Principi di analisi matematica (cap.11)

L'insegnamento ha lo scopo di presentare i fondamenti della teoria della misura e dell'integrazione. Il corso prevede di presentare la misura e l’integrale secondo Lebesgue e di generalizzare poi la nozione di misura ed integrazione a spazi astratti. Particolare risalto verrà dato allo studio degli spazi L^p, alle misure prodotto e alla differenziazione. Verranno anche forniti elementi di base di analisi funzionale (spazi di Banach e di Hilbert).

Il corso, introducendo nuovi ed importanti concetti, accresce la capacità dello studente di riconoscere nuovi problemi in nuovi contesti, di comprenderli individuandone gli aspetti essenziali, ottimizzandone la soluzione e interpretandola nel contesto corretto. La significativa presenza di teoremi, quasi tutti con dimostrazione, accresce la capacità dello studente di sostenere ragionamenti matematici astratti con argomenti rigorosi e non immediatamente collegabili a quelli già conosciuti.
Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà essere in grado di:

• conoscere i teoremi fondamentali della teoria della misura e dell'integrazione;

• conoscere in particolare la teoria della misura e dell’integrale di Lebesgue;

• risolvere problemi di passaggio al limite sotto il segno di integrale;

• risolvere semplici problemi teorici inerenti la teoria della misura e dell'integrazione;

Analisi 1, Analisi 2, conoscenza di elementi di topologia di base

lezioni frontali, alla lavagna, esercizi, lavori di verifica in gruppo o singoli

L'esame consta di una prova scritta e di una orale, durante il corso può inoltre essere previsto lo svolgimento di una prova d'esonero in sostituzione di una parte dell'esame scritto.
Lo scritto consiste nello svolgimento di alcuni esercizi sia teorici sia di calcolo, analoghi a quelli presentati a lezione. Durante la prova scritta non si possono utilizzare calcolatrici, computer, etc. e non si possono consultare libri, quaderni, appunti o formulari. La prova scritta viene valutata in trentesimi. Il punteggio minimo per superare lo scritto è di 18/30. Se uno studente supera lo scritto, è libero di scegliere se sostenere l'orale nello stesso appello o al più nell'appello immediatamente successivo (passato il quale deve invece sostenere nuovamente anche lo scritto). La prova orale consiste in una discussione relativa agli argomenti del programma del corso. Il voto finale tiene conto del voto dello scritto e della prova orale.

NOTA BENE: gli studenti fuori corso che desiderano svolgere l'esame secondo il programma di anni accademici precedenti a quello corrente devono avvisare i docenti quando si iscrivono al primo appello scritto utile, precisando il programma su cui intendono essere esaminati. Tale decisione resta valida e irrevocabile per tutto l'anno accademico.

Per il programma completo si rinvia alla sezione INSEGNAMENTI sul sito docente

Italian

• Lebesgue measure, Lebesgue measurable functions, Lebesgue integral
• Abstract measure and integration
• L^p spaces
• Roduct spaces
• BV and absolutely continuous functions
• Signed measure

G. De Barra, Measure Theory and Integration

P. Cannarsa & T. D’Aprile, Introduzione alla Teoria della Misura ed all’Analisi Funzionale

T. Tao, An introduction to measure theory

G.B. Folland, Real analysis: modern techniques and their applications

E.M. Stein & R. Shakarchi, Real Analysis. Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces

W. Rudin, Real and complex analysis

H.L. Royden & P.M. Fitzpartick, Real Analysis

A.N. Kolmogorov & S.V. Fomin, Measure, Lebesgue Integrals and Hilbert Spaces

see also:

T. Tao, Analysis II (chapt. 7 and 8)

N. Fusco, P. Marcellini & C. Sbordone, Analisi Matematica Due

W. Rudin, Principi di analisi matematica (chapt.11)

- Knowledge and understanding:

Students will be introduced to the basic facts concerning measure theory and integration. We will start from the Lebesgue measure and integration on the Euclidean space and then we will extend it to general measure spaces, so that the ideas are easier for the students to grasp and appear more concrete. Nevertheless the theory will be set up in detail, with rigorous proofs, many applications, examples and exercises.

- Applying knowledge and understanding:

At the end of the course students should be able to answer questions and solve problems on measure and integration. They should also be able to generalize and adapt some the abstract reasoning presented during the lectures.

Calculus 1, Calculus 2, elementary topics in topology

lectures, exercises and small group or individual follow-up activities

both written and oral examinations. Midterm examinations may be also run.

More information can be found on the professor web page