ITALIANO

Teoria degli anelli.
Teoria dei campi.
Campi finiti

M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj, Lezioni di Algebra, Liguori Editore 1994.
S. Franciosi e F. de Giovanni, Elementi di Algebra, Aracne 1995.
S. Lang, Algebra, Springer 2002

Il corso si propone di fornire agli studenti approfondimenti delle strutture algebriche studiate in Algebra 1, con particolare enfasi ad anelli e campi.
I risultati attesi sono che lo studente conosca in maniera approfondita le principali strutture algebriche, le loro proprietà e che sia in grado di usare tali conoscenze per risolvere problemi anche di tipo teorico. Lo studente dovrà essere in grado di esprimere quanto studiato o elaborato autonomamente utilizzando un linguaggio rigoroso. Inoltre, lo studente deve essere in grado di leggere e consultare testi che contengono gli argomenti svolti, anche in lingua inglese.

Conscenze di Algebra 1 e Geometria 1

L'insegnamento viene impartito mediante lezioni frontali tenute dai docenti alla lavagna, suddivise in modo sostanzialmente equivalente tra la trattazione teorica e lo svolgimento di esercizi finalizzati all'assimilazione e all'approfondimento della teoria illustrata.
Parte degli esercizi svolti dai docenti in classe saranno comunicati con qualche giorno di anticipo, per permettere agli studenti di cimentarsi loro stessi e di trovare nel successivo svolgimento in classe un’occasione di verifica o di correzione di quanto autonomamente elaborato.

L’esame consiste in una prova scritta e di un colloquio orale.
La prova scritta è costituita da esercizi, alcuni dei quali per svolgerli è sufficiente applicare le definizioni studiate.
La valutazione della prova scritta consiste in un ammesso o non ammesso alla prova orale.
La prova orale consiste in una discussione che accerti in maniera approfondita la preparazione teorica e la capacità di applicarla alla risoluzione di problemi e la comprensione di quanto affrontato nell'intero insegnamento. La prova orale è valutata in voti in trentesimi e tiene conto, se pur non in maniera assoluta, dello svolgimento della prova scritta.

Teoria degli anelli: Anelli commutativi e anelli non commutativi. Anelli unitari e domini d’integrità. Campo dei quozienti di un dominio d’integrità. Caratteristica di un anello. Ideali di un anello. Ideali somma, prodotto e intersezione di due ideali. Ideali primi e massimali. Lemma di Zorn. Teorema di esistenza di un ideale massimale. Anello quoziente. Teoremi di omomorfismo per anelli. Domini euclidei, interi di Gauss. Ricerca di massimo comune divisore tra due interi di Gauss. Anelli principali e fattoriali. Elementi primi e irriducibili. Fattorialità dell’anello dei polinomi a coefficienti in un anello fattoriale.
Teoria dei campi: Estensione di un campo. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico. Estensioni semplici. Dimensione di un’estensione e base di un’estensione. Teorema di moltiplicazione dei gradi. Estensioni finite, algebriche e trascendenti. Transitività delle estensioni algebriche. Il campo degli algebrici in una estensione. Teorema di Kronecker. Campo di spezzamento di un polinomio: esistenza ed unicità. Radici dell’unità. Polinomi ciclotomici. Chiusura algebrica di un campo. Campi finiti. Esistenza ed unicità del campo finito di fissata cardinalità. I sottocampi di un campo finito. Automorfismo di Frobenius. Polinomi irriducibili su campi finiti.

Italian

Ring theory.
Field theory.
Finite field

D. Dummit and R. Foote, Abstract Algebra, John Wiley & Sons 2004.

The course aims to provide students with insight into the algebraic structures studied in Algebra 1, with particular emphasis on rings and fields. The final goal is that the students know in a deep way the main algebraic structures, their properties and that the are able to solve the problems of a theoretical nature. Moreover, they should be able to express what is studied or processed independently using a strict language. In addition, they sould be able to read, also in English.

Algebra 1 and Geometry 1

Lectures

Written and oral exam

Ring theory: Commutative rings and non-commutative rings. Rings with unity and domain.. Quotient field of domain. Characteristic of a ring. Ideal of a ring. Sum, product of ideals and intersection of two ideals. Prime and maximum ideal. Zorn’s Lemma. Theorem of existence of a maximal ideal. Quotient ring. Homorphism’s theorems for rings. Euclidean domains, Gauss's integers. Search for a maximum common divisor between two Gauss integers. Principal and unique factorization rings. Pime and irreducible elements. Unique factorization for polynomial ring over a unique factorization ring.
Field theory: Extension of a field. Algebraic and transcendent elements. Minimum polynomial of an algebraic element. Simple extensions. Dimension and basis of an extension. Finite extensions , algebraic and transcendent extensions. Transitivity of algebraic extensions. Kronecker's theorem. Splitting field of a polynomial: existence and uniqueness. Roots of unity. Cyclotomic polynomials. Algebraic closure of a field. Finite fields. Existence and uniqueness of the fixed cardinality. The subfields of a finite field. Frobenius automorphism. Irreducible polynomials over a finite field.