ITALIANO

Cenni di logica e teoria degli insiemi.Numeri reali e complessi. Successioni e serie numeriche. Teoria delle funzioni reali di variabile reale: limiti,continuità, derivabilità e integrabilità. Tecniche risolutive di equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili, e del secondo ordine lineari a coefficienti costanti omogenee e non.

Enrico Giusti: Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, seconda edizione.

Carlo D. Pagani, Sandro Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli.

Monica Conti, Davide Ferrario, Susanna Terracini, Gianmaria Verzini: Analisi matematica. Dal calcolo all'analisi: 1, Apogeo Editore.
Enrico Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri.
Giovanni Prodi, Analisi Matematica, Bollati Boringhieri.

Il corso intende fornire la conoscenza delle nozioni di base e dei metodi dell’Analisi Matematica, con particolare attenzione alle successioni, serie e alle funzioni reali di una variabile reale: limiti, continuità, calcolo differenziale e calcolo integrale, incluse le tecniche risolutive di alcuni semplici modelli di equazioni differenziali ordinarie del primo e secondo ordine. Particolare attenzione verrà data ai metodi risolutivi dei problemi e alla trattazione di esempi, in modo da cercare di trasmettere una buona padronanza dell’uso dell’analisi.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Primo obiettivo di base del corso è quello di fare in modo che gli studenti siano in grado di enunciare, dimostrare e ragionare sui teoremi dell'Analisi Matematica 1.
Il secondo importante scopo è sviluppare l'approccio critico allo studio, di individuare le tecniche dimostrative comuni nello studio di un primo corso di analisi, in modo da fare proprie le conoscenze acquisite e di saperle applicare in modo appropriato.

Abilità comunicative:
Il corso si propone di sviluppare la capacità dello studente di esporre in modo
chiaro e rigoroso e critico le conoscenze acquisite.

Nessuna propedeuticità. Prerequisiti: argomenti di matematica della scuola secondaria di secondo grado.

72 ore di lezione, 36 ore di esercitazioni

L’esame è composto da una prova scritta e una prova orale. Tutte e due le prove sono obbligatorie. La prova scritta è propedeutica alla prova orale.
Saranno svolte almeno due verifiche intermedie. Se superate, lo studente potrà accedere alla prova orale senza dover sostenere la prova scritta.
La prova orale consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso nonché alle possibili applicazioni per la risoluzione di problemi.
È necessaria l’iscrizione elettronica alle prove scritte, alle prove orali e alle verifiche intermedie.
Si ricorda inoltre che per sostenere l’esame, sia scritto che orale, è necessario accertare l’identità del candidato; si raccomanda pertanto di portare con sé un documento d’identità valido.

Preliminari –Nozioni elementari di logica e di teoria degli insiemi. Numeri naturali, Principio di Induzione e applicazioni.
Numeri.
Numeri interi, razionali e reali. Estremo superiore e assioma di Dedekind. Numeri complessi:Definizione, forma algebrica e trigonometrica, operazioni con i numeri complessi; potenze, radici ed equazioni nel campo complesso.
Funzioni reali - Distanza nei reali, intorni, insiemi aperti e chiusi, teorema di Bolzano-Weierstrass. Definizioni di base sulle funzioni; funzioni elementari e loro grafici. Estremo superiore e inferiore. Successioni e successioni estratte, insiemi numerabili.
Limiti di Successioni e di funzioni- Definizione e teoremi sui limiti. Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Limiti notevoli; limiti destro e sinistro. Asintoti. Limiti di successioni e di successioni monotone. Il numero di Nepero. Confronti e stime asintotiche. Criterio di convergenza di Cauchy.
Serie numeriche - Definizioni e proprietà. Condizione necessaria per la convergenza di una serie e relativi Definizioni e proprietà. Condizione necessaria per la convergenza di una serie e relativi controesempi. Le serie geometriche e le serie armoniche. Criteri di convergenza per serie a termini positivi. Serie a termini di segno variabile.
Funzioni continue – Continuità delle funzioni elementari, punti di discontinuità, limite di una funzione composta. Teoremi sulle funzioni continue: Teorema degli zeri, dei valori intermedi, di Weierstrass di punto fisso. Funzioni uniformemente continue.
Calcolo differenziale - Definizioni, retta tangente e derivata; punti di non derivabilità. Regole di derivazione. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy e applicazioni. Derivazione e monotonia; derivate successive; derivazione e convessità. Teorema di de l’Hopital. Formula e polinomio di Taylor.
Calcolo integrale - L'integrale di Riemann, funzioni integrabili, teorema fondamentale del calcolo, calcolo di primitive e area di figure piane. Integrazione per parti, per sostituzione, integrazione di funzioni razionali. Integrali impropri.
Equazioni differenziali.
Equazioni differenziali e modelli; tecniche risolutive per le equazioni differenziali del primo ordine lineari e a variabili separabili, e per quelle del secondo ordine a coefficienti costanti
omogenee e non omogenee.

Italian

Elements of logic and set theory. Real and complex numbers. numerical sequences and series. Theory of the real functions of a real variable: limits, continuity, derivability and integrability. Resolution techniques of first order differential equations of linear type and with separable variables. Resolution techniques of second order linear differential equations with constant coefficients homogeneous and not homogeneous.

Enrico Giusti: Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri, seconda edizione.

Carlo D. Pagani, Sandro Salsa: Analisi Matematica 1, Zanichelli.

Monica Conti, Davide Ferrario, Susanna Terracini, Gianmaria Verzini: Analisi matematica. Dal calcolo all'analisi: 1, Apogeo Editore.
Enrico Giusti: Esercizi e Complementi di Analisi Matematica 1, Bollati Boringhieri.
Giovanni Prodi, Analisi Matematica, Bollati Boringhieri.
Adams: Introduction to Calculus and Analysis I

Objectives*

Knowledge and understanding:
The course aim at give the knowledge of basic theory and methods of mathematical analysis
concerning numeric sequences and series, and functions of one real variable; in particular
we will study: limits, conitnuity, differential and integral calculus arriving at the resolution methods of some simple examples of ordinary differential equations.
Particular attention will be devoted to problem solving and the comprhension of examples
in order to give a good comprehension of the treated theory.

Applying knowledge and understanding:
The primary goal is let the students be able to prove, state and reason about the theorems
discussed in the course.
Then, a second important objective will be to develop the students' approach to the
mathematical study, in order to let them become able to apply the acquired knowledge
in a proper way.

Communication skills:
The course aim at develop the students' ability to expose in a rigorous and clear way
the acquired knowledge.
- Learning skills
The choice of topics and the ways of presenting them aim at developing the student's learning skills necessary to undertake subsequent studies with a good degree of autonomy and understanding.

* "At the end of the course the student will have to demonstrate"
- to know the basics notions of numeric sequences and series;
- to know the basics notions of the theory of functions of one real variable;
- to know the basics resolution's methods of ordinary differential equations of first degree, linear and with separable variables;
- to know the basics resolution's methods of ordinary differential equations of second degree, linear, with constant coefficients homogeneous and non-homogeneous;
- to have the ability to argue about the connections between the different arguments presented and on the various applications.

knowledge of secondary school.

72 hours of classroom lessons, 36 hours exercitations.

Verification and assessment of the level of knowledge will be done through a written and oral test, which are both mandatory. It is possible to reach the oral test, only by passing the written one.
There will be at least two written tests during the course. Everyone who pass them, can
take directly the oral exam.
The oral exam will deal with definitions, theorem (statements, proofs and counter-examples),
and applications of the theory discussed in the course, also including some problem solving exercises.

Preliminary –Elements of logic, set theory, number set theory. Natural numbers, induction principle and applications.
Numeri.
Integers, rational and real numbers. Sumpremum and infimum; complex numbers: powers and roots of complex numbers, algebraic equation in the complex numbers set.
Real functions of one variable - Topology in the real set, Bolzano-Weierstrass Theorem. Elementary functions; Numerical sequences, numerables sets.
Limits of sequences and functions- Definitions and basic theorems. Operations with limits, some important limits. Asymptotes. Monotone sequence. The number e. Comparison theorems. Cauchy convergence criterium.
Numeric Series- Definitions and basic properties. Necessary and sufficient condition to convergence for series with positive terms. Examples and coounter-examples. Geometric and harmonic series. Series with alternating sign terms.
Continuous functions– Definitions and basic properties. Discontinuity points. Theorems concerning continuous functions. Uniformly continuous functions.
Differentials Calculus- Definitions, tangent liner and derivative; Rules of computation. Local maximum and minimum points. Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy Theorems and applications. Derivations and monotonicity; derivatives og higher orders; convexity. L’Hopital's rule. Taylor's formula.
Integral Calculus- The Riemann integral, integrables functions, fundamental theorem, area of planar domains. Integrations by parts, change of variable, integrations of rational functions.
Ordinary differential equations- Ordinary differential equations and models; equations of first and second order. Resolutions' methods for linear equations or with separable variables of first order; Resolutions' methods for linear equations of second orders with constant coefficients homogeneous and not homogeneous.