ITALIANO

Introduzione agli spazi di Hilbert --
Analisi Complessa -- Analisi Armonica

PRIMA PARTE:
N. I. Akhiezer & I. M. Glazman: Theory of Linear Operators in Hilbert Space
G. Cicogna: Metodi Matematici per la Fisica,
E. Onofri: Teoria degli Operatori Lineari
SECONDA PARTE:
notes on “Introduzione ai Metodi Matematici della Fisica” M. B. Barbaro, M. Frau, P. Gambino e S. Sciuto
notes on “Metodi Matematici della Fisica”, N. Zanghi
TERZA PARTE:
E. Butkov: Mathematical Physics
notes on “Trasformate e serie di Fourier, ed equazioni differenziali ” S. de Siena,
Schaum's outline of “Theory and Problems of Laplace Transforms”

- Conoscenza e capacità di comprensione

Lo studente acquisterà la conoscenza e la comprensione degli aspetti principali della fisica-matematica di interesse per il corso di laurea. In particolare lo studente apprenderà le proprietà principali degli spazi di Hilbert, dell'analisi complessa e delle trasformate di Laplace e di Fourier.

- Capacità di applicare conoscenza e comprensione

Alla fine del corso, lo studente sarà in grado di maneggiare strumenti matematici potenti come il Teorema dei Residui e le trasformate di Laplace e di Fourier.

- Abilità comunicative:
Lo studente acquisterà la capacità di esporre in modo chiaro e rigoroso teoremi e definizioni, argomento del corso

Calcolo differenziale, integrale e matriciale

Lezioni frontali, esercitazioni di gruppo in classe e studio assistito

Una prova scritta per accedere all'orale finalizzata alla verifica delle capacità dello studente nella soluzione di problemi specifici mediante i metodi matematici studiati.
Una prova orale finalizzata alla valutazione del raggiungimento da parte dello studente del livello di apprendimento raggiunto e della capacità dello studente nella discussione e presentazione degli argomenti trattati.
La prova scritta ha tipicamente una durata di 3 ore ed incide in media al 40% della valutazione finale.

Programma:
PRIMA PARTE: Introduzione agli spazi di Hilbert
Richiamo ai numeri complessi - Definizione di Spazio di Hilbert - Definizione di prodotto scalare – Definizione di norma – Disuguaglianza triangolare e disuguaglianza di Schwarz
Insieme di vettori ortonormali – Proiezione su un sottospazio – Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
Trasformazioni lineari – Matrici Hermitiane – Relazione tra matrici Hemitiane e numeri complessi – Operatori Unitari e matrici di rotazione – Operatori Inversi – Operatori di Proiezione – Autovalori ed autovettori – Teorema sulla diagonalizzabilità di una matrice- Notazione di Dirac – Diagonalizzazione come prodotto tra matrici -
Proprietà degli autovettori di matrici Hermitiane – Teorema spettrale – Proprietà degli autovettori di operatori unitari e di proiezione – Definizione di Completezza di uno spazio
Cenni sulla coerenza quantistica – Matrici di Pauli – Stati separabili e stati di Bell
Seconda PARTE: Analisi Complessa
Funzioni complesse – Condizioni di derivabilità di funzioni complesse – Teorema di Cauchy-Riemann
Integrazione in campo complesso – Lemma di Gauss – Teorema di Cauchy – Teorema di Morera - Rappresentazione integrale di Cauchy – Teorema di infinita derivabilità – Teorema di Liouville – Teorema della media – Teoremi del minimo e massimo modulo
Serie in campo complesso – Convergenza puntuale, assoluta e uniforme – Raggio di convergenza – Teorema di Weierstrass - Teorema di Cauchy-Hadamard - Integrali con poli lungo il cammino di integrazione – Il punto all'infinito – Funzioni polidrome

Terza PARTE: Analisi Armonica
Sviluppo in serie di Fourier – Teorema di convergenza e disuguaglianza di Bessel – Teorema di Riesz-Fisher - Uguaglianza di Parseval per funzioni di classe C1 – Lemma di Riemann
Trasformata di Laplace (TL) – Teorema di esistenza della TL – Proprietà della TL – Metodo di decomposizione per fratti – Teorema di espansione di Heaviside – Formula di inversione di Mellin - Teorema della convoluzione – Teorema della funzione primitiva – Derivate ed integrali della TL
Trasformata di Fourier (TF) – Legame con la serie di Fourier - Condizioni per l'esistenza della TF – Teorema della convoluzione – Teorema integrale di Fourier – Legame tra la TL e la TF – Proprietà della TF
Equazione del calore omogenea sulla retta - Equazione del calore con sorgente sulla retta – Equazione delle onde omogenea sulla retta – Equazione delle onde con dissipazione.

Italian

Introduction to Hilbet Sapce -- Complex Analysis -- Armonic Analysis

FIRST PART:
N. I. Akhiezer & I. M. Glazman: Theory of Linear Operators in Hilbert Space
G. Cicogna: Metodi Matematici per la Fisica,
E. Onofri: Teoria degli Operatori Lineari
SECOND PART:
notes on “Introduzione ai Metodi Matematici della Fisica” M. B. Barbaro, M. Frau, P. Gambino e S. Sciuto
notes on “Metodi Matematici della Fisica”, N. Zanghi
THIRD PART:
E. Butkov: Mathematical Physics
notes on “Trasformate e serie di Fourier, ed equazioni differenziali ” S. de Siena,
Schaum's outline of “Theory and Problems of Laplace Transforms”

- Knowledge and understanding

THE STUDENT WILL ACQUIRE KNOWLEDGE OF THE MAIN ISSUES OF MATHEMATICAL-PHYSICS OF INTEREST TO THE DEGREE COURSE. IN PARTICULAR, HE WILL ACQUIRE KNOWLEDGE OF THE MAIN PROPERTIES OF HILBERT SPACES, COMPLEX ANALYSIS, FOURIER AND LAPALCE TRANSFORMS.

-applying knowledge and understanding

AT THE END OF THE COURSE, THE STUDENT WILL BE ABLE TO MANAGE POWERFULL MATHEMATICAL TOOLS SUCH AS THE RESIDUE THEOREM, FOURIER AND LAPALCE TRANSFORMS.

- Comunication
THE STUDENT WILL BE ABLE TO PRESENT DEFINITIONS AND THEOREMS IN A RIGOROUS AND CLEAR WAY

Differential, Integral and Matricial Calculus

Lessons and numerical exercises in the classroom, intervening tests and assisted study

A WRITTEN TEST FOR ACCESS TO ORAL INTERVIEW AIMED TO VERIFY THE STUDENTS'ABILITY TO SOLVE SPECIFIC PROBLEMS BY MEANS OF THE STUDIED MATHEMATICAL METHODS.
AN INTERVIEW AIMED TO ASSESS THE KNOWLEDGE OF THE STUDENT OF ISSUES PRESENTED IN THE COURSE AND HIS/HER DISCUSSION ABILITY.
THE WRITTEN TEST HAS A TYPICAL DURATION OF 3 HOURS AND HAS AN AVERAGE WEIGHT OF THE 40% ON THE FINAL GRADE.

FIRST PART: Introduction to Hilbert spaces
Richiamo ai numeri complessi - Definizione di Spazio di Hilbert - Definizione di prodotto scalare – Definizione di norma – Disuguaglianza triangolare e disuguaglianza di Schwarz
Insieme di vettori ortonormali – Proiezione su un sottospazio – Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt
Trasformazioni lineari – Matrici Hermitiane – Relazione tra matrici Hemitiane e numeri complessi – Operatori Unitari e matrici di rotazione – Operatori Inversi – Operatori di Proiezione – Autovalori ed autovettori – Teorema sulla diagonalizzabilità di una matrice- Notazione di Dirac – Diagonalizzazione come prodotto tra matrici -
Proprietà degli autovettori di matrici Hermitiane – Teorema spettrale – Proprietà degli autovettori di operatori unitari e di proiezione – Definizione di Completezza di uno spazio
Cenni sulla coerenza quantistica – Matrici di Pauli – Stati separabili e stati di Bell
Second PART: Complex Analysis
Funzioni complesse – Condizioni di derivabilità di funzioni complesse – Teorema di Cauchy-Riemann
Integrazione in campo complesso – Lemma di Gauss – Teorema di Cauchy – Teorema di Morera - Rappresentazione integrale di Cauchy – Teorema di infinita derivabilità – Teorema di Liouville – Teorema della media – Teoremi del minimo e massimo modulo
Serie in campo complesso – Convergenza puntuale, assoluta e uniforme – Raggio di convergenza – Teorema di Weierstrass - Teorema di Cauchy-Hadamard - Integrali con poli lungo il cammino di integrazione – Il punto all'infinito – Funzioni polidrome

Third PART: Harmonic Analysis
Sviluppo in serie di Fourier – Teorema di convergenza e disuguaglianza di Bessel – Teorema di Riesz-Fisher - Uguaglianza di Parseval per funzioni di classe C1 – Lemma di Riemann
Trasformata di Laplace (TL) – Teorema di esistenza della TL – Proprietà della TL – Metodo di decomposizione per fratti – Teorema di espansione di Heaviside – Formula di inversione di Mellin - Teorema della convoluzione – Teorema della funzione primitiva – Derivate ed integrali della TL
Trasformata di Fourier (TF) – Legame con la serie di Fourier - Condizioni per l'esistenza della TF – Teorema della convoluzione – Teorema integrale di Fourier – Legame tra la TL e la TF – Proprietà della TF
Equazione del calore omogenea sulla retta - Equazione del calore con sorgente sulla retta – Equazione delle onde omogenea sulla retta – Equazione delle onde con dissipazione.