ITALIANO

Calcolo differenziale per funzioni reali di una variabile reale.

Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reale.

Equazioni differenziali ordinarie.

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2014, Zanichelli.

S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 1, Seconda Edizione, 2023, Zanichelli.

Al termine del corso le studentesse e gli studenti dovranno essere in grado di applicare gli strumenti del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale. In particolare,
-dovranno saper calcolare limiti utilizzando lo sviluppo di Taylor delle funzioni elementari
-tracciare un grafico approssimativo di una funzione reale di una variabile reale
-calcolare l'area tra due grafici di funzioni reali di una variabile reale
-calcolare l'insieme delle primitive di una funzione
-determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare del primo o secondo ordine.

-Logica elementare.

-Numeri reali

-Funzioni tra insiemi, funzioni reali elementari.

-Limiti di funzioni:
limiti notevoli, confronto di ordini di infinito e di infinitesimo.


-Funzioni continue su un intervallo: teorema degli zeri e dei valori intermedi. Continuità delle funzioni elementari e delle loro inverse. Funzioni continue su un intervallo chiuso e limitato: teorema di Weierstraß.

Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.

L'esame prevede una prova scritta. La prova scritta consiste in quesiti a risposta aperta ed esercizi relativi agli argomenti del corso.

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Derivata e significato geometrico, regole di derivazione; derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse; derivazione delle funzioni elementari; estremi locali, punti critici e teorema di Fermat; i teoremi di Rolle e di Lagrange; conseguenze del teorema di Lagrange; funzioni monotone; estremi locali di funzioni derivabili; le regole di de l’Hospital; le derivate successive; la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano; applicazioni del teorema di Taylor, serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari.

Studio di funzione: Estremi locali, zeri, asintoti orizzontali, verticali e obliqui, concavità e convessità, punti di flesso.

Calcolo Integrale per funzioni di una variabile: L'integrale di Riemann e signi ficato geometrico;
classi di funzioni integrabili;
proprietà dell'integrale; teorema della media, la funzione integrale e il teorema fondamentale del
calcolo integrale; primitive e integrale indefi nito; metodi di integrazione: integrazione per parti
e per sostituzione; integrali impropri e criteri di convergenza.

Equazioni differenziali ordinarie: equazioni differenziali a variabili separabili, equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee a coefficienti costanti, equazioni differenziali lineari di ordine uno.

Italian

Differential calculus for real functions of one real variable.

Integral calculus for real functions of one real variable.

Ordinary differential equations.

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2014, Zanichelli.

S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 1, Seconda Edizione, 2023, Zanichelli.

At the end of the course the students will be able to apply the main tools of the differential and integral calculus for real functions of one real variable. In particular,
they will be able to
-compute the limits employing the Taylor expansion of elementary functions
-draw an approximative graph of real functions of one real variable
-compute the area among the graphs of the real functions of one real variable
-compute the set of primitive functions of a real function of one real variable
-determine the general integral of a differential equation of first or second order.

-Elementar notion of logic

-Real numbers

-Functions between sets, elementar real functions.

-Limit of functions:
notable limits, comparison of order of infinity and of infinitesimal.

-Continuous functions on an interval: intermediate zero theorem and intermediate values. Continuity of elementary functions and of their inverse.
Continuous functions on a closed and bounded interval: Weierstraß theorem.

Lectures and exercises session in classroom.

The exam is a written test, which consists of open-ended questions and exercises concerning the theory discussed during the course.

Differential calculus for real functions of one real variable:
derivative and geometrical interpretation, rules of derivation, differentiation of a composite function and of an inverse function; differentiation of elementary functions; Fermat theorem and interior extremum of a function, Rolle's theorem, Lagrange's theorem and its consequences; monotone functions; l'Hopital's rule;
Taylor's formula with the rest of Lagrange and with Peano's rest; applications of Taylor's theorem, series of Taylor, series of Taylor for elementary functions.

Differential calculus used to study functions: constructing the graph of a function.

Integral calculus for real functions of one real variable: Riemann integral,
integrable functions, properties of the integral, mean value theorem, the fundamental theorem, primitives and indefinite integral, integration by parts and change of variable in an integral, improper integrals and their convergence.

Ordinary differential equations:separable differential equations; linear differential equations, homogeneous and non-homogeneous with constant coefficients; linear differential equations of order one.