ITALIANO

I numeri e le funzioni reali. Limiti di successioni. Serie numeriche. Limiti di funzioni. Derivate. Applicazioni delle derivate. Integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile. Integrali indefiniti. Funzioni di più variabili. Equazioni differenziali.

M. BRAMANTI-C.D. PAGANI-S. SALSA, Analisi Matematica I, Zanichelli Editore.
M. BRAMANTI-C.D. PAGANI-S. SALSA, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli Editore.
P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Elementi di Calcolo, Liguori Editore.
P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica I, 1˚ volume, Liguori Editore.
A. ALVINO-G. TROMBETTI, Elementi di Matematica I, Liguori Editore.
A. ALVINO-L. CARBONE-G. TROMBETTI, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore.
N. FUSCO- P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori Editore.

L'insegnamento si prefigge di fornire gli strumenti matematici che sono necessari per poter affrontare ulteriori esami del corso di studi.
Al termine del corso lo studente avrà acquisito non solo le tecniche di calcolo maggiormente utilizzate nelle applicazioni ma avrà sviluppato la capacità di ragionamento e di trarre conclusioni in modo critico ed autonomo.

Conoscenze di calcolo di base

Il corso è articolato in 80 ore di lezioni frontali in cui verranno esposti gli argomenti di teoria e molteplici esempi. Parte delle lezioni varranno dedicate allo svolgimento di esercizi strettamente collegati alla parte teorica.
Gli studenti di SCIENZE AMBIENTALI svolgeranno 2 CFU aggiuntivi, per cui il corso sarà articolato in 96 ore di lezioni che saranno suddivise in 80 ore (10 CFU) svolte da G. di Blasio e 16 ore (2 CFU) svolte da F. Zullo.

L’esame consiste nel superamento, con una votazione di almeno 16/30, di una prova scritta della durata di 120 minuti, dove lo studente, attraverso la risoluzione degli esercizi, dovrà applicare le conoscenze di calcolo e teoriche acquisite durante il corso. Il superamento della prova scritta è propedeutico all’esame orale.
Durante il corso si effettueranno delle prove intercorso, il cui superamento significherà il superamento della prova scritta.
L’esame orale è volto a valutare la capacità di ragionamento e di collegamento tra i vari argomenti del corso ed è costituito da domande sulle definizioni e teoremi trattati durante il corso al fine di mostrare autonomia di ragionamento. Saranno, inoltre, discussi gli aspetti trattati durante lo scritto. La valutazione finale sarà espressa in trentesimi e terrà conto dell’esito della prova orale (70%), della prova scritta (30%).

Allo studente è data la possibilità di seguire un corso di Tutorato di supporto al corso.
Il docente è disponibile a chiarimenti durante gli orari di ricevimento presenti sul sito nei giorni indicati sulla scheda
insegnamento e su richiesta inoltrata via email.
Gli studenti di SCIENZE AMBIENTALI seguiranno 2 CFU aggiuntivi.

I numeri e le funzioni reali: Cenni di teoria degli insiemi; Enti primitivi: unione, intersezione differenza, prodotto cartesiano; relazione, grafico, rappresentazione grafica; campo ordinato completo, gli assiomi dei numeri reali; alcune conseguenze degli assiomi dei numeri reali; numeri naturali, interi, razionali; proprietà di completezza; definizioni di massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore; funzioni e rappresentazione cartesiana; funzioni composte, funzioni iniettivo, suriettive, invertibili; funzioni monotone; funzioni limitate; funzioni monotone, funzioni simmetriche, funzioni periodiche; restrizioni e prolungamenti di funzioni; funzione lineare¸ funzione valore assoluto; funzione potenza; funzione esponenziale e logaritmo, le funzioni trigonometriche e le loro inverse; risoluzione grafica, algebra di equazioni e disequazioni elementari.

Limiti di successioni: Definizione di successione di numeri reali; definizione di limite, successioni convergenti, divergenti ed oscillanti; teorema dell’unicità del limite; successioni limitate e monotone; operazioni con i limiti; forme indeterminate; teorema della permanenza del segno, teorema dei Carabinieri; successioni infinitesime, teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima; alcuni limiti notevoli (s.d. eccetto i limiti limnsen an , limn sen an / an dove an→0); teorema di regolarità delle successioni monotone (s.d.); gerarchia degli infiniti fondamentali, il numero di Neplero (s.d.).

Limiti di funzioni: Definizione di punto di accumulazione per un insieme numerico; definizione di intorno, definizione di limite di funzione reale di una variabile reale: funzioni convergenti, divergenti, oscillanti; definizione di limite desto e sinistro, esempi e proprietà dei limiti di funzioni, operazioni con i limiti di funzioni; limiti di funzioni composte (s.d.), teorema unicità del limite (s.d.), connessione tra limiti di funzioni e limiti di successioni: teorema ponte (s.d.), teoremi del confronto (s.d.); funzioni continue e relative proprietà, classificazione delle discontinuità ed esempi: punti di salto, discontinuità di seconda specie, discontinuità eliminabile, prolungamento per continuità; continuità delle funzioni elementari; teorema di Weierstrass (s.d.) e relativi controesempi, il teorema degli zeri (s.d.) ed applicazioni, il teorema dei valori intermedi, criterio di continuità per le funzioni monotone (s.d.), continuità delle funzioni inverse (s.d.); limiti notevoli (s.d.); confronto tra infinitesimi, confronto tra infiniti, applicazioni.

Derivate: Definizione di derivata e significato geometrico, esempi di funzioni derivabili e non derivabili, equazione della retta tangente, legami tra derivabilità e continuità, controesempi; definizione di derivata desta e sinistra, punti di cuspide, angolosi e flessi a tangente verticale, derivate delle funzioni elementari (s.d.), operazioni con le derivate (s.d.), derivate seconde, teorema di derivazione delle funzioni inverse (s.d.); derivate delle inverse delle funzioni trigonometriche (s.d.), teorema di derivazione delle funzioni composte (s.d.), applicazioni.

Applicazioni delle derivate: Massimi e minimi relativi, il teorema di Fermat, i teoremi di Rolle e Lagrange con relativi significati geometrici; criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo, condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi (s.d.), funzioni convesse e concave, punti di flesso, il teorema di De Hospital (s.d.), studio del grafico di una funzione.

Integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile: Definizioni e notazioni; criterio di integrabilità secondo Riemann (s.d.), integrabilità delle funzioni continue (s.d.), integrabilità delle funzioni monotone (s.d.), teorema della media, area del rettangoloide.

Integrali indefiniti: Definizione di primitiva e proprietà, l’integrale indefinito, Il teorema fondamentale del calcolo integrale, formula fondamentale del calcolo integrale, integrazione per decomposizione in somma, integrazione delle funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione.

Numeri complessi: Campo dei numeri complessi, relazione tra R^2 e C.

Funzioni di più variabili: Funzioni reali di più variabili. Funzioni di variabile reale a valori vettoriali. Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Cenni sugli spazi vettoriali: spazio vettoriale R^n , definizione di prodotto scalare, norma euclidea e distanza. Insiemi aperti e chiusi, definizione di punto interno, esterno e di frontiera; definizione di intorno, punto di accumulazione ed aperto, definizione di limite e continuità: esempi, derivate direzionali e derivate parziali, gradiente, funzioni differenziabili, relazione tra continuità, derivabilità e differenziabilità: teoremi ed esempi, piano tangente.

Equazioni Differenziali: Definizioni ed esempi: il modello di Malthus. Il problema di Cauchy. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teoremi di esistenza ed unicità locale e globale (s.d.). Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine complete: il caso in cui il termine noto è una funzione polinomiale, esponenziale o trigonometrica. Equazioni a variabili separabili. Equazioni del tipo: y’ = g(y/x). Equazioni del tipo: y’ = g(ax+by). Equazioni di Bernulli.

Algebra lineare: Matrici, algebra delle matrici, determinanti, minori e rango di una matrice, matrici inverse, sistemi lineari, regola di Cramer, teorema di Rouche-Capelli.




N.B.: (s.d.)= senza dimostrazione
La parte di Algebra lineare riguarda solo gli studenti di Scienze Ambientali.

Italian

Real numbers and elementary functions. Limits of sequences. Numerical series. Limits of functions. Derivatives. Applications of derivatives. Riemann integration of functions of one variable. Indefinite integrals. Multivariate functions. Ordinary Differential equations.

M. BRAMANTI-C.D. PAGANI-S. SALSA, Analisi Matematica I, Zanichelli Editore.
M. BRAMANTI-C.D. PAGANI-S. SALSA, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli Editore.
P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Elementi di Calcolo, Liguori Editore.
P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica I, 1˚ volume, Liguori Editore.
A. ALVINO-G. TROMBETTI, Elementi di Matematica I, Liguori Editore.
A. ALVINO-L. CARBONE-G. TROMBETTI, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore.
N. FUSCO- P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori Editore.

The aim of this course is to provide students with the mathematical concepts necessary to tackle the exams of their course of studies and the computational techniques used in most applications.

Basic computation and general mathematical knowledge.

The course is divided into 96 hours of lectures in which the topics of theory and multiple examples will be exposed. Part of the lessons will be dedicated to carrying out exercises strictly related to the theoretical part.
Abaut the students of SCIENZE AMBIENTALI, the 96 hours of lessons will be divided into 80 hours (10 credits) carried out by G. di Blasio and 16 hours (2 credits) carried out by F. Zullo.

The exam consists in passing, with a vote of at least 16/30, a written test lasting 120 minutes, where the student, through the resolution of the exercises, will have to apply the calculation and theoretical knowledge acquired during the course. Passing the written test is a prerequisite for the oral examination.
During the course, elapsed tests will be carried out, the passing of which will mean passing the written test.
The oral exam is aimed at evaluating the reasoning and connection skills between the various topics of the course and consists of questions on the definitions and theorems dealt with during the course in order to show autonomy of reasoning. The aspects covered during the written exam will also be discussed. The final evaluation will be expressed in thirtieths and will take into account the outcome of the oral test (70%), of the written test (30%).

The student can take a Tutoring course during the course.
The teacher is available for clarifications during the reception hours on the site on the days indicated on the sheet
teaching and on request forwarded via email.

Numers and real functions: basics on set theory; union, intersection, difference, Cartesian product; relation, graph, ordered complete field, axioms of real numbers; consequences of the axioms of real numbers; natural numbers, integers; completeness property, definition of maximum, minimum, infimum and supremum; functions and their representation; composition of functions, injective, surjective, invertible functions; monotonic functions, symmetric functions, periodic functions, restriction and analytic continuation; linear functions, absolute value function; power function, exponential and logarithms functions, trigonometric functions and their inverses; graphic resolution, algebra of equations and elementary inequalities.

Limit of a sequence; definition of a sequence of real numbers; definition of limit, convergent sequences, divergent sequences; uniqueness to the limit theorem; bounded and monotone sequences; operations with limits; indeterminate forms; squeeze theorem; Permanence of sign; some fundamental limits (n.p. apart from the limits lim_n sin an , lim_n (sin an / an) as an→0); regularity of monotone sequences (n.d.); asymptotic comparisons, Neplero's number (n.p.).

Limits of functions: definition of accumulation point; definition of neighbourhood, definition of limit of a real function; convergent, divergent, oscillating functions; definition of right and left limits, examples and properties of limit of a function, operation with limits; limit of the composition of two functions (n.p.), uniqueness of the limit theorem (n.p.), connection between limits of functions and limits of sequences: connection theorem (n.p.), comparison theorem (n.p.); continuous functions and related properties, classification of the discontinuity; continuity of elementary functions; Weistrass theorem (n.p.) and related counterexamples, location of zeros theorem (n.p.) and applications, intermediate values theorem, continuity criteria for monotone functions (n.p.), continuity of inverse functions (n.p.); fundamental limits (n.p.); comparisons theorems and applications.

Derivatives: definition of derivative and geometric meaning, examples of derivable functions and non derivable functions, equation of tangent line, connections between derivability and continuity of a function, counterexamples; definition of left and right derivatives, derivatives of elementary functions (n.p.), operations with derivatives (n.p.), second order derivatives, derivatives of inverse functions (n.p.); derivatives of inverse of the trigonometric functions (n.p.), derivation of the composition of functions (n.p.), applications.

Applications of derivatives: local maxima and minima, Fermat theorem, Rolle and Lagrange theorems with related geometric interpretation; characterization of constant function in an interval, sufficient conditions for local maxima and minima (n.p.), convex functions and concave functions, De Hospital theorem (n.p.), graph of a function.

The Riemann integral in one variable: definitions and notations, criteria of Riemann integrability (n.p.), integrability of continuous functions (n.p.), integrability of monotone functions (n.p.), average theorem.

Indefinite integrals: definition of primitive functions and properties, definite integral, fundamental theorem for integrals, fundamental formula, integration by decomposing in sum, integration of rational functions, integration by parts, integration bye substitution.

Complex numbers: field of complex numbers, relation between R^2 e C.

Multivariate functions: multivariate real functions. Preliminaries on vector space: vector space R^n, definition of scalar product, Euclidean norm and distance. Open and closed sets, interior, external and boundary point; neighbourhood, accumulation point and open, definition of limit and continuity: examples, partial derivatives and directional derivative, gradient, differential functions, relation with continuity, derivability and differantiability: theorems and examples, tangent plane.

Differential equations: definitions and example, Malthus's model. Cauchy's problem. Integral formulation of the Cauchy's problem. Existence and local and global uniqueness theorem (n.p.). Linear differential equations of first and second order. Linear homogenous differential equations of second order with constant coefficients. Complete linear differential equations of second order: the case in which the constant term is a polynomial function, exponential or trigonometric. Equations of type: y’ = g(y/x) and y’ = g(ax+by). Bernulli's equation.

Linear algebra: matrices, algebra of matrices, determinants, minors and rank of a matrix, inverse matrices, linear systems, Cramer's rule, Rouche-Capelli theorem.


N.B.: (n.p.)= no proof
Linear algebra part of the program only regards the students of Scienze Ambientali.