ITALIANO

Programma sintetico

Richiami su campi e anelli di polinomi in una o più indeterminate. Campi Finiti.
Polinomi e varietà algebriche su campi finiti. Sottopiani, archi e calotte d’ordine massimo. Disegni. Il teorema di Bruck-Ryser-Chowla.
Codici e codici lineari. Famiglie notevoli di codici lineari. Algoritmi di decodifica.

1) Ionin Y. J. , Shrikhande M.S., Combinatorics of symmetric designs, Cambridge University Press (2006). 2) Lidl R. Niederreiter H., Finite Fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 20, Cambridge University Press. 3) Mazzocca F. Note di Geometria Combinatoria. Cronografica Roma S.r.l. Roma, per il Gruppo Editoriale L’Espresso S.p.A., 2013. 4) Mazzocca F., Appunti del corso di Geometria Combinatoria , a.a. 2015/2016.
5) Cameron P.J., Combinatorics: topics, techniques, algorithms. Cambridge University Press, 1994. 6) Lovász L., Combinatorial problems and exercises. Vol. 361. American Mathematical Soc., 1993.

Conoscenze e capacità di comprensione:

L’insegnamento ha l’obiettivo di fornire una prima introduzione alla teoria dei campi finiti, alle varietà algebriche su campi finiti e allo studio di alcune strutture geometriche finite, con particolare riguardo alle loro proprietà algebriche e combinatorie e alle loro applicazioni.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:

Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di avere familiarità con la teoria dei campi finiti e con alcune strutture geometriche finite quali sottopiani, archi, calotte disegni e codici lineari.

Abilità comunicative:

Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà essere in grado di enunciare e dimostrare in maniera rigorosa risultati di base nell’ambito della teoria dei polinomi su campi finiti, delle varietà algebriche su campi finiti e delle proprietà algebriche e combinatorie di alcune strutture geometriche finite.

Conoscenze di base di algebra e geometria.
Elementi di teoria dei campi e dell’anello dei polinomi a coefficienti in un campo in una o più variabili. Nozioni fondamentali di geometria affine e proiettiva.

L’ insegnamento si articola in 64 ore (8 CFU) di didattica frontale.

La prova orale consiste in domande relative alla teoria presentata in aula.
Per partecipare alla prova orale è necessario esibire un documento di riconoscimento in corso di validità.

Richiami e argomenti preliminari

Corpi e campi. Anello dei polinomi a coefficienti un campo in una variabile. Teoria dei campi: elementi algebrici, estensioni semplici, campo di spezzamento di un polinomio. Spazi proiettivi su campi.

Campi finiti

Proprietà algebriche dei campi finiti, teorema di esistenza e unicità dei campi finiti, teorema di esistenza e unicità dei sottocampi di un campo finito, teorema dell’elemento primitivo. Automorfismi di un campo finito. Gruppo dei q-automorfismi di GF(q^n). Spazi proiettivi su campi finiti.
Polinomi e varietà algebriche su campi finiti.
Radici dell’unità e potenze. Quadrati e non quadrati di un campo finito di caratteristica dispari. Le funzioni traccia e norma. Risoluzione di un’equazione di 2° grado a coefficienti in GF(q). L’ anello dei polinomi in più variabili su un campo finito. Funzioni. Ideali di polinomi e varietà algebriche. Teorema di Chevalley-Warning e conseguenze.

Sottopiani, archi e calotte di ordine massimo

Caratteri di un insieme di punti in un piano proiettivo finito. Sottopiani. Archi in PG(2, q). Ovali e iperovali. Ovali in PG(2, q), q dispari: lemma delle tangenti, teorema di Segre. Iperovali in PG(2, q) ed o-polinomi, q pari: teorema di Segre. Calotte e ovoidi in PG(3, q).

Disegni

Combinatoria degli Insiemi finiti: Diseguaglianza di Fisher. Disegni simmetrici e disegni di Ryser. Introduzione ai disegni: Strutture di incidenza. Grafi. Proprietà fondamentali dei (v, b, k, r,λ )-disegni. Disegni simmetrici. Il teorema di Bruck-Ryser-Chowla. Automorfismi di disegni simmetrici. Matrici di Hadamard. t-disegni. Codici di Golay e disegni di Witt.

Codici

Generalità sui codici e codici lineari. Distanza di Hamming e correzione di errori. Codici lineari associati a un disegno e Teorema di Assmus-Mattson. Famiglie notevoli di codici lineari e risultati sui loro parametri: codici ciclici, codici BCH, codici di Reed-Solomon. Algoritmi di decodifica.

Italian

Finite fields and polynomial rings.
Algebraic varieties over finite fields. Subplanes, arcs and caps of maximum order. Designs. Bruck-Ryser-Chowla. Codes, linear codes. Known families of linear codes, decoding algorithms.

1) Ionin Y. J. , Shrikhande M.S., Combinatorics of symmetric designs, Cambridge University Press (2006). 2) Lidl R. Niederreiter H., Finite Fields, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 20, Cambridge University Press.
3) Cameron P.J., Combinatorics: topics, techniques, algorithms. Cambridge University Press, 1994.
4) Lovász L., Combinatorial problems and exercises. Vol. 361. American Mathematical Soc., 1993.

Knowledge and understanding:

The aim of this course is to give a gentle introduction to the theory of finite fields, algebraic varieties over finite fields and to the study of some finite geometric structures, with special attention to the combinatorics point of view and to their possible applications.

Applying knowledge and understanding:

After the course, the student has to show some attitude to the theory of finite fields and with some finite geometric structures such as sub planes, arcs, caps, designs and linear codes.

Communication skills:

After the course the student should be able to state and to prove basic results in the theory of finite fields, algebraic varieties over finite fields and some algebraic and combinatorial properties of some finite geometric structures.

Basic knowledge on algebra and geometry. Notions from field theory and polynomial ring theory. Fundamental notions of affine and projective geometry.

The 64 hours of the course are divided into lectures and classes.

Methods of assessment:
oral examination.

Preliminaries

Skewfield and fields. Polynomial rings over a field. Field theory: algebraic elements, simple extension, splitting field of a polynomial. Projective spaces over finite fields.

Finite fields

Algebraic properties of finite fields, existence and uniqueness of finite fields, existence and uniqueness of subfields of a finite field, primitive element theorem. Automorphisms of a finite field. Group of the q-automorphisms of GF(q^n).
Polynomials and algebraic varieties over finite fields. Roots of unity and powers. Square and non-square of a finite field of odd characteristic. Trace and norm functions. Solutions of a second degree equation with coefficients in GF(q). Multivariate ring of polynomials over finite fields. Functions. Ideals of polynomials and algebraic varieties. Chavelly-Warning Theorem and consequences.

Subplanes, arcs and caps of maximum order

Characters of a set of points in a finite projective plane. Subplanes. Arcs in PG(2,q). Ovals and hyperovals. Ovals in PG(2,q), q odd: tangent lemma and Segre's theorem. Hyperovals in PG(2,q) and o-polynomials, q odd: Segre's theorem. Caps and ovoids in PG(3,q).

Designs

Combinatorics of finite sets: Fisher's inequality. Symmetric designs and Ryser's designs. Introduction to the design theory: incidence structures. Graphs.
Fundamental properties of (v, b, k, r,λ )-disegns. Bruck-Ryser-Chowla's theorem. Automorphisms of symmetric designs. Hadamard matrices. t-designs. Golay's codes and Witt's designs.

Codes

Generalities of codes and linear codes. Hamming distance and error correction. Linear codes associated with a design and Assums-Mattson's theorem.
Some families of linear codes and results on their parameters: cyclic codes, BCH codes, Reed-Solomon codes. Decoding algorithms.