ITALIANO

Sarà fornita una prima introduzione alla teoria delle varietà algebriche affini su campo algebricamente chiuso, focalizzando poi l’attenzione sulle varietà 1-dimensionali piane (curve), nel caso affine e nel caso proiettivo, con una breve applicazione alla teoria dei codici.

W. Fulton: Algebraic Curves, an introduction to Algebraic Geometry, disponibile in http://www.math.lsa.umich.edu/∼wfulton/.
R.J. Walker: Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1950.
A. Seidenberg: Elements of the theory of algebraic curves, Addison-Wesley Series Mathematics, (1968).

ALTRI TESTI
D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, New-York, 1996.
M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj: Lezioni di Algebra, Liguori Editore , 1994.
J. Hirschfeld, G. Korchmaros e F. Torres: Algebraic Curves over a Finite Field, Princeton University Press, Priceton e Oxford, 2008

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):
L'insegnamento ha l’obiettivo introdurre lo studente al linguaggio, ai risultati fondamentali e ai metodi della teoria delle varietà e delle curve algebriche piane.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà
- dimostrare di avere familiarità con esempi classici di varietà e curve algebriche, riconoscendo esempi notevoli e ricavando in maniera indipendente proprietà generali.

Abilità comunicative (communication skills):
Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà
-- essere in grado di enunciare e dimostrare in maniera rigorosa risultati di base nell’ambito della teoria delle varietà algebriche affini e nell’ambito della teoria delle curve algebriche piane.

Autonomia di giudizio (making judgements)
Lo studente è stimolato ad apprendere in maniera critica ed autonoma attraverso gli approfondimenti seminariali proposti. Alla fine del corso lo studente dovrà essere in grado di leggere in autonomia testi più avanzati di Geometria Algebrica.

Elementi di teoria degli anelli e di teoria dei campi, nozioni fondamentali di geometria affine e proiettiva. È consigliabile aver sostenuto o almeno seguito l’insegnamento della laurea Magistrale Algebra Commutativa.

L'insegnamento si articola in 64 ore (8 CFU) di didattica frontale. Durante il corso saranno presentati esempi ed esercizi, in parte svolti durante le lezioni in parte assegnati allo studente che dovrà risolverli in autonomia.

La prova orale consiste in:
-domande relative alla teoria presentata in aula;
-domande riguardanti esercizi ed esempi svolti in aula.
Il voto finale risulterà pari alla media ponderata delle due votazioni conseguite e il voto sarà espresso in trentesimi.

Per l’orario di ricevimento, si rinvia alla sezione didattica del sito web del docente. Per il materiale didattico distribuito durante il corso e il programma d’esame dettagliato si rinvia al sito e-learning di Ateneo, dove sarà attivato il corso “Geometria Algebrica” a cui gli studenti iscritti avranno accesso con le credenziali di Ateneo.
Sito e-learning unicampania: https://elearning.unicampania.it/
Sito docente: https://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058270
Gli orari delle lezioni sono reperibili nel quadro orario delle lezioni alla pagina dedicata: https://www.matfis.unicampania.it/didattica/orari-lezioni#matematica

Premesse e richiami di teoria degli anelli: anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert, estensioni trascendenti e grado di trascendenza.
Elementi di teoria delle Varietà Algebriche Affini: topologia di Zariski, teorema degli zeri di Hilbert, irriducibilità e decomposizione in componenti irriducibili, dimensione di una varietà. Varietà algebriche affini irriducibili del piano.
Curve algebriche piane
Curve algebriche piane, affini e proiettive. Singolarità. Intersezione di curve e Teoremi di Bezout. Funzioni regolari, parametro locale, function field e divisori. Teorema di Riemann-Roch e semigruppo di Weistrass. Codici algebrico-geometrici.


*Il programma d’esame dettagliato sarà disponibile a fine corso sul sito e-learning.

Italian

The goal of this course is to give a basic knowledge of foundations of algebraic geometry with particular regard to the case of affine varieties and planar algebraic curves, with an application to the theory of error-correcting codes.

W. Fulton: Algebraic Curves, an introduction to Algebraic Geometry, disponibile in http://www.math.lsa.umich.edu/∼wfulton/.
R.J. Walker: Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1950.
A. Seidenberg: Elements of the theory of algebraic curves, Addison-Wesley Series Mathematics, (1968).

More Readings
--D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, New-York, 1996.
--M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj: Lezioni di Algebra, Liguori Editore , 1994.
--J. Hirschfeld, G. Korchmaros e F. Torres: Algebraic Curves over a Finite Field, Princeton University Press, Priceton e Oxford, 2008

At the end of the course, the student will be able to state and prove basic results on algebraic varieties and algebraic planar curves, expressed in a rigorous mathematical language and will be able to read more advanced text books.

A first course in Algebra and a first course in Analysis, the first two courses in Geometry.

Teaching methods:
The course consists of 64 hours (8 CFU) of lectures. During the course we will present several examples and exercises, in part solved during the lectures, in part left as homework.

The oral examination consists in:
- questions dealing with the theory presented in the course;
- questions dealing with the examples and the exercises solved during the lectures or left as homework.
Maximum grade is 30 cum Laude. Pass grade is 18/30.

Teaching materials:

https://elearning.unicampania.it/

Office Hours:
https://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058270

Teaching timetables:
https://www.matfis.unicampania.it/didattica/orari-lezioni#matematica

Algebraic Preliminaries
Rings, ideals, Noetherian rings, polynomial rings, the Hilbert base theorem.

Algebraic affine varieties
Varieties and ideals. Irreducible varieties and prime ideals. Decomposition of a variety into Irreducibles. Hilbert’s Nullstellensatz. Radical Ideals and Ideal-variety Correspondence. Irreducible varieties in the planar case.


Plane Algebraic curves
Affine and projective algebraic curves and their equations. Tangents and singularities. Intersection numbers. Bezout Theorem. Regular functions local parameter, function field and divisors. Riemann-Roch Theorem and Weistrass semigroup. Algebraic-geometric codes.