ITALIANO

Programma sintetico

-Geometria differenziale delle curve.
1. Curvatura di una curva piana regolare. Teorema fondamentale delle curve piane.
2. Curvatura e torsione di una curva regolare nello spazio. Triedro di Frenet.
Teorema fondamentale delle curve nello spazio.

-Geometria differenziale delle superfici.
3. Superfici regolari. Superfici orientabili. Prima forma fondamentale.
4. Operatore forma. Curvature.
5. Superfici a punti ombelicali. Superfici rigate. Superfici di rotazione.

- Varietà differenziabili
6. Varietà immerse. Varietà astratte. Spazi tangenti. Sottovarietà.

1) E. Abbena, A. Gray, . Salamon.: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica CRC Press, Third Edition (2006)
2) A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer (2012)
3) Henrik Schlichtkrull, Differentiable manifolds Lecture Notes for Geometry 2, Department of Mathematics University of Copenhagen

Il corso intende fornire una buona conoscenza delle nozioni della geometria differenziale delle curve e superfici in spazi euclidei e la conoscenza di nozioni di teoria delle varietà differenziabili che permetteranno di proseguire lo studio intrinseco di superfici iniziato nella parte del corso relativa alle superfici di uno spazio euclideo.

Il corso ha come obiettivo quello di rendere lo studente capace di acquisire una buona conoscenza e padronanza dei metodi geometrici, algebrici e differenziali per lo studio di curve superfici e varietà differenziabili e del ruolo della geometria differenziale in matematica e in altre discipline (ad esempio in computer grafica).

Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di aver familiarità con gli argomenti trattati, di esporli in maniera chiara e rigorosa e di essere in grado di applicare i risultati studiati ad esempi specifici.

Conoscenze di base di analisi matematica, geometria e algebra

Il corso è articolato in 64 ore di didattica frontale. Con cadenza settimanale sono proposti online (sul sito del docente) degli homework che sono poi discussi in aula insieme con gli studenti per commentare e analizzare i risultati teorici esposti a lezione .
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

L’esame prevede una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie, che contribuiscono al voto finale con un peso di 30% e 70% rispettivamente.
Per partecipare sia alla prova scritta che a quella orale è necessario esibire un documento di riconoscimento in corso di validità.
La prova scritta della durata di circa 2 ore si svolge in aula e consiste di quattro esercizi: uno riguardante le curve, due le superfici ed uno le varietà differenziabili. . È consentito l’uso della calcolatrice e a parte l’uso di un formulario per le superfici non è possibile consultare testi e/o altri materiali didattici.
La prova è valutata in trentesimi ed è propedeutica alla prova orale. Per essere ammessi alla prova orale occorre raggiungere il voto di 18/30.
La prova orale verifica la conoscenza , il livello di comprensione degli argomenti trattati a lezione, la capacità di esporli in maniera chiara e rigorosa. Essa consiste in domande relative alla teoria e alle dimostrazioni presentate nel corso e in un’eventuale discussione della prova scritta se in essa sono presenti degli errori.
La prova orale ha una durata di circa 50 minuti, è valutata in trentesimi e fornisce il voto finale dell’esame.

E’ previsto l’esonero dalla prova scritta per gli studenti in corso che abbiano frequentato regolarmente le lezioni e che abbiano conseguito una valutazione complessiva superiore alla sufficienza sui 2 elaborati prodotti in sede delle prove intercorso. Queste ultime consistono nella risoluzione di problemi ed esercizi: la prima su argomenti riguardanti le curve. La seconda su argomenti riguardanti le superfici e le varietà differenziabili.

Le tracce degli homework e delle prove scritte d’esame sono reperibili sul sito del Dipartimento

- Geometria differenziale delle curve. (16 ore di lezioni frontali, per un totale di 2 CFU)
Definizione ed esempi di curve differenziabili e regolari. Riparametrizzazioni di una curva differenziabile. Lunghezza di una curva. Lunghezza d’arco e esistenza di una riparametrizzazione a velocità unitaria di una curva regolare. Curve differenziabili nel piano euclideo: Curvatura di una curva regolare. Angolo ruotante. Prima formula di Frenet. Teorema fondamentale delle curve piane. Equazione intrinseca di una curva. Coordinate polari. Evolute, evolventi e cerchio osculatore ad una curva piana. Curve piane equiangolari. Curve sghembe:Curvatura e torsione di una curva regolare. Equazioni di Frenet-Serret. Piani osculatore, normale e rettificante. Rappresentazione canonica di una curva. Il teorema fondamentale per le curve nello spazio. Curve circolari e curve sferiche. Eliche. Cenni sulle curve B-spline (NURBS).

- Geometria differenziale delle superfici. (32 ore di lezioni frontali, per un totale di 4 CFU )
Vettori tangenti dello spazio euclideo n-dimensionale e derivate direzionali. Funzioni tangenti. Campi vettoriali e loro derivate. Porzioni di superfici nello spazio euclideo reale di dimensione n. Superfici regolari. Vettori tangenti a una superficie regolare. Diffeomorfismi. Superfici di livello. Metriche su una superficie. Isometrie tra superfici. Area su una superficie. Superfici nello spazio 3-dimensionale: Operatore forma. Curvatura normale. Equazioni di Weingarten. Autovalori dell’operatore forma. Curvatura Gaussiana e curvatura media. Le tre forme fondamentali. Funzioni equiaree: un teorema di Archimede. Curve asintotiche e curve principali su una superficie. Geodetiche. Caratterizzazione delle superfici regolari connesse a punti ombelicali. Una proprietà globale di curvatura (per superfici compatte). Superfici di rotazione e superfici rigate. Orientabilità di una superficie. Superfici non orientabili. Geometria intrinseca: il teorema Egregium di Gauss.

- Varietà differenziabili. (16 ore di lezioni frontali, per un totale di 2 CFU)
Varietà nello spazio euclideo. Definizione di varietà differenziabile. Gruppi di Lie. Teorema di Whitney. Funzioni differenziabili su una varietà differenziabile e tra varietà differenziabili. Spazio tangente. Sottovarietà. Proprietà topologiche di varietà differenziabili.

Italian

-Differential Geometry of curves.
1. Curvature of a regular plane curve. Fundamental Theorem of Plane Curves, Existence and Uniqueness.
2. Curvature and torsion of curves in the space. Frenet frame. Fundamental Theorem of Space Curves. Existence and Uniqueness.

- Differential geometry of surfaces in teh Euclidean space.
3. Regular surfaces. Orientable surfaces. First fundamental form of a patch.
4. Shape operator. curvatures.
5. Ruled surfaces. Surfaces of revolution. Priincipal curves and umbilics.

-Manifolds.
6. Manifolds in the Euclidean space. Abstract manifolds. The tangent space. Submanifolds

1) E. Abbena, A. Gray, . Salamon.: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica CRC Press, Third Edition (2006)
2) A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer (2012)
3) Henrik Schlichtkrull, Differentiable manifolds Lecture Notes for Geometry 2, Department of Mathematics University of Copenhagen

The course intends to provide knowledge of the notions of differential geometry of curves and surfaces in Euclidean spaces and knowledge of the notion of the theory of differentiable manifolds that provide a framework in which to pursue the intrinsic study of surfaces begun in the part of the course devoted to the surfaces of an Euclidean space

applying knowledge and understanding:
Students will be able to acquire a good knowledge and mastery of geometric, algebraic and differential methods for studying surface curves and differentiating varieties, and of the role of differential geometry in mathematics and other disciplines (eg computer graphics).

Communication skills:
At the end of the course, the student will be familiar with the topics discussed, to expose them in a clear and rigorous manner, and to be able to apply the results studied to specific examples.

knowledge of basic notions of calculus, algebra and geometry.

classroom teaching articulated in lectures and exercise sessions.

Methods of assessment: The exam consists in a written examination and an oral examination, both mandatory and they contribute to final vote with a weight of 30% and 70% respectively.
To participate in both the written and oral examinations, the student present a valid recognition document.
- The written examination verifies the ability to know how to apply the acquired knowledge through the solution of exercises. It lasts two hours and consists of four exercises: one concerning curves, two surfaces and one differentiable varieties. .. For admission to the oral examination, it is necessary to get a grade of at least 18/30 at the written examination.

- The oral examination consists of questions on the theory and the proofs treated in the course, and a possible discussion of the written examination. The oral examination provides the final vote. It lasts about 50 minutes.

Differential Geometry of Curves (2 CFU). Curves in the space. The length of a curve. Curvature of planes curves. Angel functions. Euclidean motions. Isometries of the plane. Intrinsic equations for plane curves. Plane curves in polar coordinates. Implicitly defined plane curves. . Evolutes, iterated evolutes, Involutes, osculating circle of a plane curve. A characterziation of Logarihmic spiral. Curves in the space. Curvature and torsion of unit speed curves. Arbitrary speed-curves. . Canonic form of a curve. Frenet-serret Equations. Frenet frame and its planes at a point of a regular curve., Other representation of curves in the space. Intrinsic equations of a curve in the space. Curves on a sphere. Helix..B-spline-curves (NURBS).

DIFFERENTIAL GEOMETRIES OF SURFACES (4 CFU). Calculus on Euclidean Space. Patches in Rn. Regular surfaces. Tangent vectors and regular mappings. Level surfaces in R3. Metrics on a surface. Isometries between superficies. Area Non-orientable surfaces. . Shape operator and normal curvature. Gaussian and Mean Curvature. Weingarten Equations.. Asymptotic and principal curves. Uumbilics Points. Geodesics, Ruled sutraces. Surfaces of revolution and constant curvature. Intrinsic Geometry. Gauss’s Egregium Theorem. Geodesics. Equiareal maps. A theorem of Archimede.

DIFFERENTIABLE MANIFOLDS (2CFU). Manifolds in Euclidean space. Parametrized manifolds. Embedded parametrizations . Curves . Surfaces . Chart and atlas . Manifolds. The coordinate map of a chart Transition maps . Abstract manifolds . Topological spaces. Abstract manifolds . Examples . Projective space . Product manifolds . Smooth functions on a manifold . Smooth maps between manifolds . Lie groups . Countable atlas .Whitney’s theorem . The tangent space . The tangent space of a parametrized manifold . The tangent space of a manifold in Rn. The abstract tangent space. The vector space structure .Directional derivatives .Action on functions . The differential of a smooth map . The standard basis. Orientation . Submanifolds . Submanifolds in Rk. Abstract submanifolds . The local structure of submanifolds . Level sets . The orthogonal group. Domains with smooth boundary . Orientation of the boundary . Immersed submanifolds . Some topological properties of manifolds.