Italiano

Gli argomenti trattati saranno i seguenti:
I teoremi di Hahn-Banach
Il teorema di Banach-Steinhaus e sue conseguenze
Topologie deboli
Spazi riflessivi
Spazi separabili
Spazi uniformemente convessi
Spazi di Hilbert
Operatori lineari compatti
Introduzione alla teoria delle distribuzioni

Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations.  Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp. ISBN: 978-0-387-70913-0
Rudin, Walter. Functional Analysis, McGraw-Hill, 1974

Il corso ha come obiettivo quello di rendere lo studente capace di assimilare le conoscenze acquisite e di saperle applicare in diversi ambiti dell’Analisi Matematica. Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di conoscere e saper applicare le nozioni di base dell'Analisi Funzionale, le nozioni di base e i principali risultati della teoria delle distribuzioni di Schwarz, aver la capacità di argomentare sulle connessioni tra le diverse teorie presentate al corso e sulle varie applicazioni.

Si richiede la conoscenza degli argomenti di base di Analisi Matematica, tra cui in particolare: calcolo differenziale, successioni di funzioni, teoria della misura e spazi di Lebesgue.

Lezioni Frontali

La verifica e la valutazione del livello di conoscenza da parte dello studente avverranno attraverso una prova orale. La prova consisterà in una serie di domande sugli argomenti trattati al corso con il duplice scopo di verificare il livello di apprendimento degli argomenti presentati al corso e la capacità di applicare le nozioni e le tecniche apprese.

Il teorema di Banach-Steinhaus e sue conseguenze
Lemma di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus (principio di uniforme llimitatezza). Corollari e criteri di limitatezza. Teorema dell'applicazione aperta. Teorema del grafico chiuso.
Topologie deboli, spazi riflessivi, spazi separabili e spazi uniformemente convessi
Topologia meno fine che rende continue le applicazioni di una famiglia. Topologia debole in uno spazio di Banach. La topologia debole è separata. Base di intorni per la topologia debole. Convergenza debole, caratterizzazione. Topologia debole in spazi a dimensione finita. Esempi di insiemi chiusi per la topologia forte e non per la topologia debole (sfera unitaria). Convessi chiusi e topologia debole. Funzioni convesse semicontinue inferiormente e topologia debole. Operatori lineari e continuità debole in spazi di Banach. La topologia debole*. Teorema di compattezza di Banach-Alaoglu-Bourbaki. Spazi di Banach riflessivi. Lemma di Helly e lemma di Goldstine. Teorema di Kakutani. Caratterizzazione della separabilità con metrizzabilità della palla unitaria del duale rispetto alla topologia debole*. Successioni limitate ed estratte convergenti debolmente. Spazi uniformemente convessi. Teorema di Milman. Conv debole + semicontinuità debole superiore della norma implica convergenza forte in spazi uniformemente convessi. Introduzione alla teoria degli operatori non limitati. Operatore aggiunto. Relazioni di ortogonalità per l'operatore aggiunto.
Spazi di Hilbert
Proiezione su un convesso chiuso e operatore di proiezione su sottospazi chiusi. Duale di uno spazio di Hilbert: Teorema di Riesz-Frechet. Teorema di Stampacchia e Lemma di Lax-Milgram. Somme hilbertiane e decomposizione di un vettore. Basi ortonormali. Spazi di Hilbert separabili ammettono una base hilbertiana. Caratterizzazioni delle norme hilbertiane (s.d.). Esempi: Polinomi di Lagrange e polinomi di Hermite.
Operatori lineari compatti
Definizioni e prime proprietà. Teorema di Schauder sulla compattezza dell'aggiunto. Risolvente, spettro e autovalori di un operatore lineare tra spazi di Banach. Spettro di un operatore compatto. Operatori compatti autoaggiunti in spazi di Hilbert. Base di autovettori.
Introduzione alla teoria delle distribuzioni
Lo spazio delle Funzioni Test. Mollificatori. Partizione dell'unità localmente finita. Funzioni localmente sommabili come distribuzioni e Teorema Fondamentale del Calcolo delle Variazioni. La distribuzione di Dirac. La Distribuzione dipolo. Le misure di Radon. Ordine di una distribuzione. Derivata di una distribuzione. Funzioni assolutamente continue. Moltiplicazione di una funzione regolare per una distribuzione e regola di derivazione. Convergenza di una successione di distribuzioni. Approssimazione della delta di Dirac con funzioni regolari. Supporto di una distribuzione. Distribuzioni a supporto compatto e duale delle funzioni regolari (non necessariamente a supporto compatto). Supporto singolare di una distribuzione. Prodotto di convoluzione tra distribuzioni. Operatori differenziali lineari e soluzioni fondamentali.

Italian

The topics covered will be the following:
The Hahn-Banach theorems
The Banach-Steinhaus theorem and its applications
Weak topologies
Reflexive spaces
Separable spaces
Uniformly convex spaces
Hilbert spaces
Compact linear operator
Introduction to the theory of distributions

Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations.  Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp. ISBN: 978-0-387-70913-0
Rudin, Walter. Functional Analysis, McGraw-Hill, 1974

The course aims to make the student capable of assimilating the knowledge acquired and knowing how to apply them in different areas of Mathematical Analysis. At the end of the course, the student will have to demonstrate that they know and know how to use the basic notions of Functional Analysis, the basic concepts and main results of Schwarz's distribution theory, argue on the connections between the different theories presented at the course and on the various applications.

Knowledge of the basic topics of Mathematical Analysis is required, including in particular: differential calculus, sequences of functions, theory of measure and Lebesgue spaces.

Frontal lessons

The verification and assessment of the student's level of knowledge will take place through an oral test. The test will consist of a series of questions on the topics covered in the course with the dual purpose of verifying the level of learning of the topics presented in the course and the ability to apply the concepts and techniques learned.

The Banach-Steinhaus theorem and its consequences
Baire's lemma. Banach-Steinhaus theorem (uniform boundedness principle). Corollaries and boundedness criteria. Open Mapping theorem. Closed Graph theorem.
Weak topologies, reflexive spaces, separable spaces and uniformly convex spaces
The coarsest topology that makes the applications of a family continuous. Weak topology in a Banach space. The weak topology is separated. Neighborhood basis for weak topology. Weak convergence, characterization. Weak topology in finite-dimensional spaces. Examples of closed sets for the strong topology and not for the weak topology (unit sphere). Closed convex sets and weak topology. Lower semi-continuous convex functions and weak topology. Linear operators and weak continuity in Banach spaces. The weak-* topology. Banach-Alaoglu-Bourbaki compactness theorem. Reflexive Banach spaces. Helly's lemma and Goldstine's lemma. Kakutani theorem. Characterization of separability with metrizability of the unit ball of the dual with respect to the weak-* topology. Bounded sequences and weak precompactness. Uniformly convex spaces. Milman's theorem. Weak conv + Weakly upper-semicontinuity implies strong convergence in uniformly convex spaces. Introduction to the theory of unbounded operators. Adjoint operator. Orthogonality relations for the adjoint operator.
Hilbert spaces
Projection on closed convex and projection operator onto closed subspaces. Dual of a Hilbert space: Riesz-Frechet theorem. Stampacchia theorem and Lax-Milgram lemma. Hilbert sums and decomposition of a vector. Orthonormal bases. Separable Hilbert spaces admit a Hilbert basis. Characterizations of Hilbert norms (n.d.). Examples: Lagrange polynomials and Hermite polynomials.
Compact linear operators
Definitions and first properties. Schauder's theorem on the compactness of the adjoint. Resolvent, pectrum and eigenvalues of a linear operator between Banach spaces. Spectrum of a compact operator. Compact self-adjoint operators in Hilbert spaces. Eigenvectors and basis.
Introduction to the theory of distributions
The space of Test Functions. Mollifiers. Locally finite partition of unity. Locally summable functions as distributions and the Fundamental Theorem of the Calculus of Variations. The Dirac distribution. The Dipole Distribution. Radon measures. Order of a distribution. Derivative of a distribution. Absolutely continuous functions. Multiplication of a regular function and a distribution and differentiation rule. Convergence of a sequence of distributions. Approximation of the Dirac delta with regular functions. Support of a distribution. Compactly supported distributions and dual space of regular functions (not necessarily compactly supported). Singular support of a distribution. Convolution of distributions. Linear differential operators and fundamental solutions.