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Programma sintetico:
- Spazio, tempo, movimento
1. Cinematica del punto
2. Riferimenti in moto relativo e cinematica del corpo rigido
- Sistemi meccanici
1. Assiomi della dinamica dei sistemi di punti
2. Sistemi di punti liberi e sistemi di punti vincolati
3. Assiomi della dinamica dei corpi rigidi
- Sistemi dinamici
1. Problema di Cauchy: esistenza e unicità
2. Sistemi dinamici
3. Stabilità delle soluzioni
- Sistemi a un grado di libertà
1. Sistemi lineari
2. Sistemi non lineari posizionali
- Meccanica lagrangiana
1. Equazioni di Lagrange
2. Integrali primi e metodi di riduzione
3. Moti nei campi di forze centrali
4. Moti per inerzia di un corpo rigido
- Meccanica hamiltoniana
1. Equazioni di Hamilton
2. Trasformazioni canoniche
3. Il metodo di Hamilton e Jacobi

G. Starita – Dispense del corso
G. Gallavotti – Meccanica elementare
A. Fasano e S. Marmi – Meccanica analitica
R. Esposito – Meccanica razionale
H. Goldstein, C. Poole e J. Safko – Meccanica classica

Il corso intende fornire una buona conoscenza della Meccanica Classica, con particolare riguardo alle formulazioni lagrangiana e hamiltoniana. Si intende inoltre portare a conoscenza degli studenti i problemi classici di meccanica integrabili.
Al termine del percorso formativo, lo studente sarà in grado di utilizzare le conoscenze acquisite ai fini della descrizione di fenomeni meccanici e della risoluzione di problemi.
In relazione alle abilità comunicative, il corso si propone l'obiettivo di sviluppare la capacità dello studente di esporre in modo chiaro e rigoroso concetti e leggi della Meccanica Classica.

I prerequisiti del corso di Meccanica Analitica si identificano con i contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2, di Geometria e di Meccanica

Lezioni frontali di teoria, per un totale di 64 ore, e di esercitazioni, per un totale di 24 ore

Colloquio orale della durata di 40 minuti circa consistente nella esposizione di argomenti del programma svolto.

1 – Cinematica
Descrizione cinematica del moto di una particella. Descrizione del moto relativo di due riferimenti. Rotazioni dello spazio tridimensionale e loro proprietà. Angoli di Eulero. Velocità angolare. Derivate assoluta e relativa. Velocità e accelerazione nel moto relativo di riferimenti. Composizione di moti relativi. Trasformazione del moto, della velocità, dell’accelerazione tra due riferimenti.
2 - I princìpi della Meccanica
Sistemi di punti materiali e grandezze meccaniche associate. Corpi rigidi e grandezze meccaniche associate. Tensore d’inerzia di un corpo rigido. Terna principale d’inerzia di un corpo rigido. Corpi rigidi giroscopici e loro proprietà. Sistemi di riferimento inerziali e principio di inerzia. Le equazioni di Newton. Il principio di azione e reazione. Equazioni cardinali della Meccanica dei sistemi di particelle. Equazioni cardinali per i corpi rigidi. Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto nei sistemi chiusi. Lavoro, potenza e Teorema dell’energia cinetica. Le leggi di forza. Forze derivanti da un’energia potenziale e Teorema di conservazione dell’energia. Forze dissipative e Teorema di dissipazione dell’energia. Soluzioni di quiete e loro caratterizzazione. Soluzioni di quiete per sistemi conservativi o dissipativi. Stabilità delle quiete per sistemi conservativi o dissipativi: criterio di Lagrange e Dirichlet. Sistemi di punti vincolati. Le reazioni vincolari. L’equazione del moto per un punto su una curva in assenza di attrito. Spazio delle configurazioni. Velocità possibili e velocità virtuali. I vincoli ideali (postulato delle reazioni vincolari). Equazione di D’Alembert e Lagrange. Equa- zione simbolica della dinamica. Coordinate lagrangiane e velocità lagrangiane. Forma lagrangiana delle equazioni del moto. Il principio del determinismo per le equazioni di Lagrange. Integrali primi per le equazioni di Lagrange; il caso delle coordinate cicliche (integrali primi dei momenti cinetici) e dei sistemi autonomi (integrale primo di Jacobi). Equazioni del moto per un corpo rigido libero e per un copro rigido vincolato.
3 - Sistemi dinamici
Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: posizione del problema. Sistemi in forma normale. Il problema di Cauchy. Teorema di unicità locale e globale. Teo- rema di esistenza. Soluzioni costanti. Stabilità delle soluzioni costanti. Il criterio di stabilità di Liapunov. Sistemi dinamici autonomi. Proprietà di invarianza del- la soluzione. Orbite e ritratto di fase. Determinismo orbitale. Orbite singolari, periodiche e aperiodiche.
4 - Sistemi a un grado di libertà.
Condizione di equilibrio. Forze posizionali e energia potenziale. Condizione di equilibrio per sistemi conservativi e dissipativi. Forze di richiamo; forze elastiche. Resistenze passive; resistenze viscose e idrauliche. Il modello lineare. L’oscillatore armonico. Moti lineari smorzati. Moti forzati degli oscillatori armonici. Moti forzati dei sistemi smorzati. Sistemi soggetti a forze posizionali: l’integrale dell’energia e la determinazione della legge oraria. Le curve di livello dell’energia. Il ritratto di fase. Caratterizzazione dei punti singolari; soluzioni di quiete. Caratterizzazione dei punti periodici: moti periodici. Punti aperiodici: moti non limitati e moti con meta asintotica. Determinazione dell’energia potenziale in funzione del periodo. Il pendolo semplice.
5 - Sistemi lagrangiani.
Sistemi dinamici lagrangiani ed equazioni di Lagrange. Sistemi lagrangiani con coordinate ignorabili e metodo di riduzione di Routh. Sistemi lagrangiani autonomi e metodo di riduzione di Whittaker. Gruppi di trasformazioni a un parametro dello spazio delle fasi. Gruppi di trasformazione di simmetria. Teorema di Noether. Principio variazionale di Hamilton. Principio variazionale di Maupertuis.
6 - Moti nei campi di forze centrali.
Campi di forze centrali. La conservazione dell’energia e del momento della quantità di moto. Moti radiali in un campo di forze centrali; il caso delle forze newtoniane. Il piano di Laplace di un punto in un campo centrale. Studio analitico delle orbite in un campo di forze newtoniano: orbite ellittiche, paraboliche, iperboliche. Il problema dei due corpi. Le leggi di Keplero.
7 - Moti dei corpi rigidi.
Caduta libera di un corpo rigido. Moti rotatori di un corpo rigido: il pendolo composto. Moti per inerzia di un corpo rigido: soluzione analitica. Rotazioni uniformi di un corpo rigido. Moti per inerzia di un corpo rigido: descrizione di Poinsot.
8 - Sistemi hamiltoniani.
Sistemi dinamici hamiltoniani ed equazioni di Hamilton. Sistemi hamiltoniani con coordinate ignorabili. Sistemi hamiltoniani autonomi e coservazione dell’hamiltoniana. Trasformata di Legendre. Coordinate naturali. Campi hamiltoniani e loro caratterizzazione. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche. Un criterio di canonicità. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. Equazione di Hamilton–Jacobi.