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    Biagio CASSANO

    Insegnamento di ANALYSIS

    Corso di laurea magistrale in DATA SCIENCE

    SSD: MAT/05

    CFU: 9,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 72,00

    Periodo di Erogazione: Secondo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    Inglese

    Contenuti

    - Calcolo integrale

    -serie numeriche

    -Calcolo differenziale di funzioni di due variabili


    Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti trattati.

    Alla fine del corso, nella pagina e-learning del corso sarà pubblicato il programma dettagliato.

    Testi di riferimento

    • M. Brokate P. Manchanda, A. H. Siddiqi, Calculus for Scientists and Engineers. Springer Industrial and applied Mathematics, 2013.
    • M. Spivak, Calculus, fourth edition.
    Publish or perish Inc.
    • J. Stewart, Calculus eight edition. Cengage learning.

    • M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare (seconda edizione). Zanichelli Editor, 2004.

    Per esercizi:
    • M. Brokate P. Manchanda, A. H. Siddiqi, Calculus for Scientists and Engineers. Springer Industrial and applied Mathematics, 2013.
    • J. STEWART, Calculus (8th edition), Cengage Learning, 2015.
    • S. Salsa, Squellati Esercizi di analisi Matematica, volume 1.
    • P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, volume 1, part one and part two.

    Obiettivi formativi

    Alla fine del corso gli studenti e le studentesse dovranno sapere:
    - enunciare le definizioni di base degli argomenti trattati.
    -saper applicare i teoremi trattati alla risoluzione di problemi.
    -saper enunciare i teoremi principali del corso
    -saper dimostrare i principali teoremi trattati. (verrà resa disponibile una lista alla fine del corso)

    Prerequisiti

    Non ci sono propedeuticità al corso.

    Metodologie didattiche

    Il corso è articolato in ore di lezione frontali e di esercitazioni, il
    tutto svolto in aula.
    La frequenza non è obbligatoria ma fortemente incoraggiata.
    Gli studenti partecipano attivamente, con autonomia di giudizio,
    esprimendo idee, formulando domande, presentando esempi.
    Agli studenti sono anche suggeriti alcuni libri di testo, funzionali
    all’approfondimento di quanto appreso in aula e allo sviluppo di
    autonome capacità di apprendimento.

    Metodi di valutazione

    L'esame prevede una prova scritta e una prova orale, entrambe
    obbligatorie. Sia per partecipare alla prova scritta che per partecipare
    alla prova orale è necessario esibire, subito prima dell’inizio delle stesse,
    un documento di riconoscimento in corso di validità. Il superamento della
    prova scritta è condizione necessaria, ma non sufficiente, per il
    superamento dell’esame. Il superamento della prova scritta garantisce
    l’ammissione all’esame orale. Il voto sarà assegnato all’esame orale in
    trentesimi.
    La prova scritta, nella risoluzione di un numero di esercizi su argomenti
    del programma. Non è consentito usare calcolatrice. É previsto l’esonero
    dalla prova scritta per gli studenti che abbiano frequentato regolarmente
    le lezioni e le esercitazioni e che abbiano superato le due prove
    intercorso. Queste ultime si tengono una a metà corso e una a fine corso,
    e consistono nello svolgimento di esercizi sulla prima metà del
    programma e sulla seconda metà del programma, rispettivamente.
    La prova orale consiste nella trattazione e nella discussione di argomenti
    del programma svolto a lezione.
    L’esame mira a verificare il livello di familiarità con i concetti relativi ai
    vari punti del programma, la capacità di esporli con chiarezza e di
    applicarli.
    Gli studenti dovranno dimostrare di conoscere il linguaggio matematico,
    di avere appreso i concetti di base, di comprendere il significato
    operativo degli strumenti matematici utilizzati nelle applicazioni, e di
    sapere utilizzare gli strumenti presentati nel corso ai fini della gestione,
    del trattamento e della presentazione dei risultati di dati, di saper
    utilizzare gli strumenti presentati nel corso di formalizzazione dei
    problemi in Economia e Finanza, elaborando semplici modelli matematici
    e sapendo come disegnare grafici per illustrare e studiare le relazioni tra
    variabili.

    Altre informazioni

    Le tracce delle prove scritte d’esame, ed eventuale ulteriore materiale
    didattico, sono reperibili sulla pagina e-learning del corso.

    Programma del corso

    Il linguaggio matematico e concetti preliminari - Quantificatori.
    Terminologia. Logica. Operazioni tra insiemi. Dimostrazioni, implicazioni e
    controesempi. Formule e indici: sommatorie e loro proprietà formali,
    fattoriale.
    Insiemi numerici – Funzioni - Numeri naturali. Numeri interi relativi.
    Numeri razionali. Numeri reali. Numeri complessi.
    Massimo e minimo. Estremo superiore e estremo superiore.
    Il valore assoluto e le sue proprietà. Insiemi limitati.
    Equazioni e disequazioni numeriche di primo e secondo grado. Sistemi di
    equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.
    Polinomi: principio di identità, divisione tra polinomi.
    Funzioni. Rappresentazione a frecce, a torta, tabulare, a barre, e grafico
    cartesiano.
    Successioni e serie numeriche – Successioni convergenti. Definizione di
    limite. Teorema di unicità del limite. Limitatezza delle successioni
    convergenti. Successioni divergenti. Successioni regolari.
    Operazioni sui limiti e forme indeterminate.
    Successioni monotone e loro regolarità. Successioni estratte e relative
    proprietà. Successioni di Cauchy. Limitatezza delle successioni di Cauchy.
    Limiti notevoli. Il numero e. Confronti e stime asintotiche: gerarchia degli
    infiniti. Successioni limitate.
    Serie numeriche. Definizioni e prime proprietà. Condizione necessaria per
    la convergenza di una serie e relativi controesempi. Criterio di
    convergenza di Cauchy. Serie telescopiche, serie di Mengoli, serie
    geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata. Serie resto.
    Serie a termini non negativi: criterio del rapporto, criterio della radice,
    criterio del confronto.
    Serie a segni alterni: criterio di Leibnitz.
    Assoluta convergenza e sue proprietà.
    Funzioni di una variabile reale a valori reali – Rappresentazione
    cartesiana. Funzioni iniettive, funzioni suriettive e funzioni invertibili.
    Funzioni lineari. Immagine e anti-immagine. Restrizioni e prolungamenti.
    Funzioni monotone. Monotonia delle inverse di funzioni monotone.
    Funzioni pari, funzioni dispari e funzioni periodiche. Funzioni composte.
    Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore di una
    funzione. Funzioni elementari: funzione lineare, funzione polinomio di
    secondo grado, funzione potenza, funzione radice, funzione esponenziale,
    funzione logaritmo, funzioni seno, coseno, tangente e cotangente,
    funzioni arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcocotangente; funzioni
    seno, coseno e tangente iperboliche, funzioni arcoseno, arcocoseno e
    arcotangente iperboliche. Equazioni e disequazioni. Ricerca del dominio
    di una funzione dotata di espressione elementare.
    Limiti di una funzione reale di una variabile reale, e continuità – Intorni di
    un punto. Punti di accumulazione di un insieme e loro caratterizzazione.
    Insiemi aperti. Insiemi chiusi. Intorni di + ∞ e intorni di - ∞. Chiusura di un
    insieme. Punti isolati. Definizione di limite in un punto di accumulazione.
    Limite destro e limite sinistro. Funzioni composte. Teorema “ponte”.
    Limiti notevoli.
    Funzioni continue e loro proprietà: somma, prodotto, rapporto e
    composizione di funzioni continue. Continuità di sin x, cos x, |x|.
    Limiti delle funzioni monotone. Discontinuità delle funzioni monotone.
    Limiti delle funzioni composte. Forme indeterminate. Limiti delle funzioni
    elementari.
    I principali teoremi.
    Calcolo differenziale - Definizione di derivata e sua interpretazione
    geometrica. Regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto e
    del rapporto. Derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari.
    Derivate di ordine superiore.
    Punti di massimo e punti di minimo relativo.
    Caratterizzazione delle funzioni con derivata nulla in un intervallo. Funzioni concave e funzioni convesse, e loro caratterizzazioni. Punti di
    flesso.
    Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy de l'Hopital e applicazioni.
    Calcolo dei limiti in forma indeterminata. Condizioni sufficienti per gli
    estremi locali.
    La formula di Taylor con il resto nella forma di Peano. La formula di Taylor
    con il resto nella forma di Lagrange.
    Calcolo di limiti usando la formula di Taylor.
    Asintoti. Grafici di funzioni.
    Calcolo integrale - Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Proprietà
    dell’integrale indefinito. Regole di integrazione indefinita: integrazione
    per parti, integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali.
    Integrale definiti. Il teorema fondamentale del calcolo integrale.
    I principali teoremi.
    Integrali impropri (generalizzati).
    Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli
    argomenti trattati.
    Alla fine del corso, il programma dettagliato sarà pubblicato nella pagina
    e-learning del corso.

    English

    Teaching language

    Inglese

    Contents

    Synthetic syllabus

    - Mathematical language and preliminary concepts
    - Numerical sets - Functions
    - Numerical sequences and series
    - Real-valued function of a real variable
    - Limits of a real function of a real variable, and continuity
    - Differential calculus
    - Integral calculus

    Exercises on each of the above mentioned topic are an integral part of the program.

    Textbook and course materials

    • M. Brokate P. Manchanda, A. H. Siddiqi, Calculus for Scientists and Engineers. Springer Industrial and applied Mathematics, 2013.
    • M. Spivak, Calculus, fourth edition.
    Publish or perish Inc.
    • J. Stewart, Calculus eight edition. Cengage learning.

    • M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare (seconda edizione). Zanichelli Editor, 2004.

    Exercises:
    • M. Brokate P. Manchanda, A. H. Siddiqi, Calculus for Scientists and Engineers. Springer Industrial and applied Mathematics, 2013.
    • J. STEWART, Calculus (8th edition), Cengage Learning, 2015.
    • S. Salsa, Squellati Esercizi di analisi Matematica, volume 1.
    • P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, volume 1, part one and part two.

    Course objectives

    At the end of the course the student will be able to:
    -give the basic definitions of the course.
    -know how to apply the theorems to the resolution of problems.
    -state the principal theorems of the course.
    -prove the principal theorems of the course. (A list will be given at the end of the course)
    the applicative aspects, however without renouncing to a presentation of
    formal elements and tools. We provide students with basic knowledge of
    Mathematics, fundamental in management, treatment and presentation
    of data. In particular, our aim is, throughout the study of classical
    Mathematical tools, to make the students
    acquire essential knowledge for an effective study, also with attention to
    the logical and formal aspects of many other disciplines included in their
    curriculum of studies, and enable them to understand fundamental
    formalizations of problems in different areas: economic-financial, social,
    demographic, bio-medical, environmental and energy.

    Prerequisites

    No prerequisites required.

    Teaching methods

    Lectures and classes.
    Students actively participate, with autonomy of judgment, exposing
    ideas, formulating questions, presenting examples. The students are also
    suggested some textbooks, which are useful in studying what they learn
    during classes and in developing autonomous learning skills.

    Evaluation methods

    The exam includes a written and an oral part, both mandatory. Both, to
    participate in the written test and to participate in the oral exam, a valid
    ID document must be shown immediately before.
    Passing the written test is a necessary but not sufficient condition for
    passing the exam. Passing the written test guarantees access in the oral
    examination.
    The grade will be assigned after the oral examination, using a 0–30 scale
    (where the passing grade is 18 out of 30).
    The written test consists in the resolution of a number of exercises. It is
    not allowed to use a calculator. Optional intermediate written tests are
    planned for the students who regularly attend the course, and the
    students who pass them are guaranteed the admission to the oral
    examination. These are held one in the middle and one at the end of the
    course, and consist of exercises on the first half of the program and on
    the second half of the program, respectively.
    The oral exam consists in the discussion of topics of the program carried
    out in class.
    The exam aims to verify the level of familiarity with the concepts related
    to the various points of the program, the ability to expose them clearly
    and to apply them.
    Students will have to demonstrate they have acquired mathematical
    language skills, learned basic concepts, and that they understand the
    operational significance of mathematical tools used in applications, and
    know how to use the tools presented in the course in the formalization of
    problems in Economics and Finance, by elaborating simple mathematical
    models and knowing how to draw graphs to illustrate and study
    relationships between variables.

    Other information

    The exercises of the written tests, and any additional teaching material,
    can be found on the webpage e-learning of the course.

    Course Syllabus

    Mathematical language and preliminary concepts - Quantifiers.
    Terminology. Logic. Operations between sets. Proofs, implications and
    counter-examples. Formulas and indices: summation and their formal
    properties, factorial.
    Numerical sets - Functions - Natural numbers. Relative integer numbers.
    Rational numbers. Real numbers. Complex numbers.
    Maximum and minimum. Lim sup and lim inf.
    The absolute value and its properties. Bounded sets.
    First and second degree numerical equations and inequalities. Systems of
    equations and inequalities of first and second degree.
    Polynomials: identity principle, polynomial division.
    Functions. Arrow, pie, tabular, bar, and Cartesian graph representations.
    Numerical sequences and series - Convergent sequences. Definition of
    limit. Uniqueness of the limit. Boundedness of convergent sequences.
    Divergent sequences. Regular sequences.
    Operations with limits and indeterminate forms.
    Monotonic sequences and their regularity.
    Subsequences and related properties.
    Cauchy sequences. Boundedness of Cauchy sequences. Special limits.
    The number e.
    Asymptotic comparisons and estimates: hierarchy of infinities. Bounded
    sequences.
    Main theorems.
    Numerical series. Definitions and first properties. Necessary condition for
    the convergence of a series and relative counter-examples. Cauchy
    convergence criterion. Telescopic series, Mengoli series, geometric
    series, harmonic series and general harmonic series. Remainder series.
    Series with non-negative terms: the ratio test, the radical test, the
    comparison test. Alternating series: the Leibnitz test.
    Absolute convergence and its properties.
    Real-valued function of a real variable - Cartesian representation. One-toone functions, onto functions and invertible functions. Linear functions.
    Image and pre-image. Restrictions and extensions. Monotone functions.
    Even functions, odd functions and periodic functions. Composed
    functions.
    Maximum, minimum, limsup and liminf of a function. Elementary
    functions: linear functions, second degree polynomial functions, power
    functions, radical functions, exponential functions, logarithm functions,
    trigonometric sine, cosine, tangent and cotangent functions, arcsine,
    arccosine, arctangent and arccotangent; hyperbolic sine, cosine and
    tangent functions, hyperbolic arcsine, arccosine, and arctangent
    functions. Equations and inequalities. Domain of a function with
    elementary expression.
    Limits of a real function of a real variable, and continuity – Accumulation
    points and their characterization. Open sets. Closed sets. Neighbourhoods
    of + ∞ and of - ∞. Closure. Isolated points. Definition of a limit at an
    accumulation point. Right limit and left limit. Composed functions. A
    bridge theorem. Special limits. Continuous functions and their properties:
    sum, product, ratio and composition of continuous functions. Continuity
    of sin x, cos x, | x |. Limits of monotone functions. Discontinuity of
    monotone functions. Limits of composed functions. Indefinite forms.
    Limits of elementary functions. Special limits.
    The main theorems. Differential calculus - Definition of derivative and its geometric
    interpretation. Differentiation rules: derivative of the sum, of the product
    and of the relationship. Differentiability and continuity. Derivatives of
    elementary functions. Higher order derivatives.
    Relative and absolute maxima and minima. Characterization of a function
    with zero derivative on an interval.
    Concave functions and convex functions, and their characterizations.
    Inflexion points.
    Main theorems and applications. Limits in indeterminate forms.
    Sufficient conditions for local extrema. Taylor's formula with the
    remainder in Peano form. Taylor's formula with the remainder in
    Lagrange form. Computing limits using Taylor's formula. Asymptotes.
    Graphs of functions.
    Integral calculus - Primitive of a function. Indefinite integral. Property of
    the indefinite integral. Indefinite integration rules: integration by parts,
    integration by substitution. Integration of rational functions.
    Definite integral. The fundamental theorem of calculus.
    Main theorems and applications. Improper (generalized) integrals.
    Exercises on each of the above mentined topic are an integral part of the
    program.

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