ITALIANO

Calcolo infinitesimale e differenziale per funzioni di una e più variabili. Elementi di algebra lineare.

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Matematica, Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli

A. Alvino, L. Carbone, G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica, vol. 1, parti 1 e 2, Liguori

L. Blume, C. Simon, and A. Zaffaroni. Matematica Generale. EGEA, 2007.

Conoscenza e capacità di comprensione: Il corso intende fornire le nozioni di base del calcolo infinitesimale e dell'algebra lineare utili a descrivere modelli e fenomeni economici.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: L’obiettivo del corso è quello di rendere lo studente capace di utilizzare gli strumenti matematici per l'analisi dei modelli forniti dalle applicazioni in ambito economico.

Abilità comunicative: Il corso intende trasferire allo studente la capacità di utilizzare il rigore del linguaggio matematico per spiegare fenomeni economici.

E' richiesta una buona conoscenza degli strumenti di base del calcolo.

Lezioni frontali

L'esame consiste in una prova scritta, della durata di 90 minuti, in cui è richiesto lo svolgimento di esercizi riguardanti gli argomenti del programma, e in una discussione orale sulla prova scritta e sugli argomenti del programma. L'esame si ritiene superato se si ottiene una valutazione di almeno 18/30.

I candidati dovranno dimostrare
a) il possesso di adeguate conoscenze e capacità di comprensione delle problematiche esposte o indicate e degli strumenti matematici messi a disposizione, applicando in maniera pertinente le teorie, i modelli e i metodi quantitativi oggetto del programma;
b) il possesso di adeguate conoscenze e capacità di elaborazione e comunicazione di soluzioni coerenti con le problematiche
affrontate nel corso, applicando in maniera pertinente le conoscenze teoriche e i procedimenti analitici oggetto del programma.

Richiami: Risoluzione nel campo dei numeri reali di equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Sistemi di disequazioni. Disequazioni fratte. Disequazioni irrazionali. Disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Disequazioni con valore assoluto.

I Numeri: Elementi di teoria degli insiemi. Operazioni sugli insiemi. Insiemi numerici: i numeri naturali; i numeri interi relativi; i numeri razionali; i numeri reali. Valore assoluto. Intervalli di numeri reali limitati e illimitati. Massimo e minimo di un insieme numerico, maggioranti e minoranti, estremo superiore ed inferiore.

Vettori: vettori del piano e dello spazio; somma di vettori e prodotto di un vettore per uno scalare; versori; componenti. Prodotto scalare: definizione; proprietà; calcolo in termini di componenti. Prodotto vettoriale nello spazio: definizione; proprietà; componenti. Prodotto misto. Parallelismo e perpendicolarità. Rette e piani nello spazio, equazioni parametriche e cartesiane, condizioni di parallelismo e ortogonalità.

Matrici e sistemi lineari: Somma tra matrici; Prodotto di una matrice per uno scalare. Prodotto righe per colonne. Determinante. Teorema di Laplace. Regola di Sarrus. Proprietà del determinante. Teorema di Binet. Matrici invertibili. Matrice inversa. Condizione di invertibilità. Calcolo della matrice inversa. Sistemi lineari: sistemi determinati, indeterminati e impossibili; metodi risolutivi; autovalori e autovettori.

Successioni numeriche: Definizione di successione. Successioni limitate. Limite di successioni: successioni convergenti, divergenti, irregolari. Successioni infinitesime. Successioni monotone. Successione geometrica. Successione potenza. Successione (1+1/n)^n. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Teorema del confronto e teorema della permanenza del segno. Confrontro tra successioni infinite.

Funzioni di una variabile, limiti e continuità: Funzioni numeriche e generalità: definizione di funzione; dominio e codominio; grafico di una funzione; funzioni limitate; funzioni simmetriche; funzioni monotone; funzioni periodiche. Funzioni elementari: funzione potenza e radice n-esima; funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche. Funzioni composte. Proprietà del prodotto di composizione. Monotonia delle funzioni composte. Funzioni invertibili e funzione inversa; le funzioni trigonometriche inverse. Determinazione campo di esistenza delle funzioni.

Limiti di funzioni: definizione; unicità del limite; limite destro e sinistro. Funzioni continue. Asintoti verticale, orizzontale, obliquo. Discontinuità di prima, seconda e terza specie. Il calcolo dei limiti: proprietà fondamentali; teorema del confronto e della permanenza del segno; algebra dei limiti; forme indeterminate; limiti notevoli; gerarchia degli infiniti.

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile: Derivata di una funzione: derivata e retta tangente al grafico; funzione derivata e derivate successive; derivata delle funzioni elementari; punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale; relazione tra continuità e derivabilità. Regole del calcolo delle derivate: algebra delle derivate; derivata di una funzione composta; derivata della funzione inversa. Massimi e minimi assoluti (globali) e relativi (locali). Teoremi sulle funzioni continue in un intervallo chiuso e limitato (teorema degli zeri, teorema di Weierstrass, teorema dei valori intermedi).
Punti stazionari; teorema di Fermat; teorema del valor medio di Lagrange; Teorema (test) di monotonia; ricerca dei massimi e minimi. Derivata seconda, concavità, convessità e flessi. Teorema (test) di concavità e convessità. Studio del grafico di una funzione. Teorema di de l’Hopital.

Funzioni di due variabili; derivate parziali, matrice Hessiana, cenni diottimizzazione vincolata.

Italian

Basic calculus for functions in one or more variables. Elements of linear algebra.

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Matematica, Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli

A. Alvino, L. Carbone, G. Trombetti, Esercitazioni di Matematica, vol. 1, parti 1 e 2, Liguori

L. Blume, C. Simon, and A. Zaffaroni. Matematica Generale. EGEA, 2007.

Knowledge and understanding: The course aims to provide the basic notions of infinitesimal calculus and linear algebra to describe economic systems and phenomena.

Applying knowledge and understanding:
The aim of the course is to let the student be able to use the mathematical tools for the analysis of the applications to economic problems.

Communication skills: The course aims to teach the ability to use the mathematical accuracy to explain economic phenomena.

A good understanding of the basic calculus is required.

Frontal lessons

The exam consists in a written test, lasting 90 minutes, with exercises on the topics of the course, and in an oral discussion on the written test and on the topics of the course. The exam is considered passed if the evaluation is at least 18/30.

The candidates should prove:
a) to have adequate knowledge and skills in understanding the problems presented and the mathematical tools offered, and to be able to properly apply the theories and the concepts that have been shown to them;
b) to have adequate knowledge and expertise in developing and communicating solutions coherent with the problems dealt with, and to be able to profitably apply all the theoretical and analytical methods presented.

Preliminaries: equations and inequalities with resolution in R.

The Numbers: sets, number sets, N, Z, Q and R.

Vectors, matrices and linear systems.

Sequences of real numbers.

Real functions of one real variable: limits; derivatives; maxima and minima; concavity and convexity; graph of a function; integrals.

Functions of two variables.