Italiano

Programma sintetico:
- Spazio, tempo, movimento
1. Cinematica del punto
2. Riferimenti in moto relativo e cinematica del corpo rigido
- Sistemi meccanici
1. Assiomi della dinamica dei sistemi di punti
2. Sistemi di punti liberi e sistemi di punti vincolati
3. Assiomi della dinamica dei corpi rigidi
- Sistemi dinamici
1. Problema di Cauchy: esistenza e unicità
2. Sistemi dinamici
3. Stabilità delle soluzioni
- Sistemi a un grado di libertà
1. Sistemi lineari
2. Sistemi non lineari posizionali
- Meccanica lagrangiana
1. Equazioni di Lagrange
2. Integrali primi e metodi di riduzione
3. Moti nei campi di forze centrali
4. Moti per inerzia di un corpo rigido
- Meccanica hamiltoniana
1. Equazioni di Hamilton
2. Trasformazioni canoniche
3. Il metodo di Hamilton e Jacobi

G. Starita – Dispense del corso
G. Gallavotti – Meccanica elementare
A. Fasano e S. Marmi – Meccanica analitica
R. Esposito – Meccanica razionale
H. Goldstein, C. Poole e J. Safko – Meccanica classica

Il corso intende fornire una buona conoscenza della Meccanica Classica, con particolare riguardo alle formulazioni lagrangiana e hamiltoniana. Si intende inoltre portare a conoscenza degli studenti i problemi classici di meccanica integrabili.
Al termine del percorso formativo, lo studente sarà in grado di utilizzare le conoscenze acquisite ai fini della descrizione di fenomeni meccanici e della risoluzione di problemi.
In relazione alle abilità comunicative, il corso si propone l'obiettivo di sviluppare la capacità dello studente di esporre in modo chiaro e rigoroso concetti e leggi della Meccanica Classica.

I prerequisiti del corso di Meccanica Analitica si identificano con i contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2, di Geometria e di Meccanica

Lezioni frontali di teoria, per un totale di 64 ore, e di esercitazioni, per un totale di 24 ore

Colloquio orale della durata di 40 minuti circa consistente nella esposizione di argomenti del programma svolto.

1 – Cinematica
Descrizione cinematica del moto di una particella. Descrizione del moto relativo di due riferimenti. Rotazioni dello spazio tridimensionale e loro proprietà. Angoli di Eulero. Velocità angolare. Derivate assoluta e relativa. Velocità e accelerazione nel moto relativo di riferimenti. Composizione di moti relativi. Trasformazione del moto, della velocità, dell’accelerazione tra due riferimenti.
2 - I princìpi della Meccanica
Sistemi di punti materiali e grandezze meccaniche associate. Corpi rigidi e grandezze meccaniche associate. Tensore d’inerzia di un corpo rigido. Terna principale d’inerzia di un corpo rigido. Corpi rigidi giroscopici e loro proprietà. Sistemi di riferimento inerziali e principio di inerzia. Le equazioni di Newton. Il principio di azione e reazione. Equazioni cardinali della Meccanica dei sistemi di particelle. Equazioni cardinali per i corpi rigidi. Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto nei sistemi chiusi. Lavoro, potenza e Teorema dell’energia cinetica. Le leggi di forza. Forze derivanti da un’energia potenziale e Teorema di conservazione dell’energia. Forze dissipative e Teorema di dissipazione dell’energia. Soluzioni di quiete e loro caratterizzazione. Soluzioni di quiete per sistemi conservativi o dissipativi. Stabilità delle quiete per sistemi conservativi o dissipativi: criterio di Lagrange e Dirichlet. Sistemi di punti vincolati. Le reazioni vincolari. L’equazione del moto per un punto su una curva in assenza di attrito. Spazio delle configurazioni. Velocità possibili e velocità virtuali. I vincoli ideali (postulato delle reazioni vincolari). Equazione di D’Alembert e Lagrange. Equa- zione simbolica della dinamica. Coordinate lagrangiane e velocità lagrangiane. Forma lagrangiana delle equazioni del moto. Il principio del determinismo per le equazioni di Lagrange. Integrali primi per le equazioni di Lagrange; il caso delle coordinate cicliche (integrali primi dei momenti cinetici) e dei sistemi autonomi (integrale primo di Jacobi). Equazioni del moto per un corpo rigido libero e per un copro rigido vincolato.
3 - Sistemi dinamici
Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: posizione del problema. Sistemi in forma normale. Il problema di Cauchy. Teorema di unicità locale e globale. Teo- rema di esistenza. Soluzioni costanti. Stabilità delle soluzioni costanti. Il criterio di stabilità di Liapunov. Sistemi dinamici autonomi. Proprietà di invarianza del- la soluzione. Orbite e ritratto di fase. Determinismo orbitale. Orbite singolari, periodiche e aperiodiche.
4 - Sistemi a un grado di libertà.
Condizione di equilibrio. Forze posizionali e energia potenziale. Condizione di equilibrio per sistemi conservativi e dissipativi. Forze di richiamo; forze elastiche. Resistenze passive; resistenze viscose e idrauliche. Il modello lineare. L’oscillatore armonico. Moti lineari smorzati. Moti forzati degli oscillatori armonici. Moti forzati dei sistemi smorzati. Sistemi soggetti a forze posizionali: l’integrale dell’energia e la determinazione della legge oraria. Le curve di livello dell’energia. Il ritratto di fase. Caratterizzazione dei punti singolari; soluzioni di quiete. Caratterizzazione dei punti periodici: moti periodici. Punti aperiodici: moti non limitati e moti con meta asintotica. Determinazione dell’energia potenziale in funzione del periodo. Il pendolo semplice.
5 - Sistemi lagrangiani.
Sistemi dinamici lagrangiani ed equazioni di Lagrange. Sistemi lagrangiani con coordinate ignorabili e metodo di riduzione di Routh. Sistemi lagrangiani autonomi e metodo di riduzione di Whittaker. Gruppi di trasformazioni a un parametro dello spazio delle fasi. Gruppi di trasformazione di simmetria. Teorema di Noether. Principio variazionale di Hamilton. Principio variazionale di Maupertuis.
6 - Moti nei campi di forze centrali.
Campi di forze centrali. La conservazione dell’energia e del momento della quantità di moto. Moti radiali in un campo di forze centrali; il caso delle forze newtoniane. Il piano di Laplace di un punto in un campo centrale. Studio analitico delle orbite in un campo di forze newtoniano: orbite ellittiche, paraboliche, iperboliche. Il problema dei due corpi. Le leggi di Keplero.
7 - Moti dei corpi rigidi.
Caduta libera di un corpo rigido. Moti rotatori di un corpo rigido: il pendolo composto. Moti per inerzia di un corpo rigido: soluzione analitica. Rotazioni uniformi di un corpo rigido. Moti per inerzia di un corpo rigido: descrizione di Poinsot.
8 - Sistemi hamiltoniani.
Sistemi dinamici hamiltoniani ed equazioni di Hamilton. Sistemi hamiltoniani con coordinate ignorabili. Sistemi hamiltoniani autonomi e coservazione dell’hamiltoniana. Trasformata di Legendre. Coordinate naturali. Campi hamiltoniani e loro caratterizzazione. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche. Un criterio di canonicità. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. Equazione di Hamilton–Jacobi.

Italian

Point and rigid body mechanics; Single degree of freedom systems; Lagrangian and Hamiltonian mechanics.

G. Starita – Dispense del corso
G. Gallavotti – Meccanica elementare
A. Fasano e S. Marmi – Meccanica analitica
R. Esposito – Meccanica razionale
H. Goldstein, C. Poole e J. Safko – Meccanica classica

Knowledge and understanding: The aim of the course is to provide the basic notions of Classical Mechanics, with particular attention to Lagrangian and Hamiltonian formulations.
Applying knowledge and understanding: The course aims to make the students able to use the mathematical tools of classical mechanics to solve mechanical problems.
Communication skills: The course aims to teach the students the ability to use the mathematical accuracy to describe mechanical phenomena.

The basics of Analisi Matematica 1, Analisi Matematica 2, Geometria and Meccanica are required.

The course consists in of 64 frontal lessons and 24 practice lessons.

The exam consists in an oral test. It includes a discussion on the topics of the program. It lasts about 40 minutes.

-Space, time, movement.
1. Point kinematics
2. Reference frames, relative motion, rigid body kinematics
-Mechanical systems
1. Point dynamics, axioms
2. Free and constrained point systems
3. Rigid body dynamics, axioms
-Dynamical systems
1. Cauchy problem: existence and uniqueness
2. Stability of solutions
- Single degree of freedom systems
1. Linear systems
2. Nonlinear systems
-Lagrangian mechanics
1. Lagrange equations
2. First integrals and reduction methods
3. Motions in central fields
4. Inertial motions of a rigid body
-Hamiltonian mechanics
1. Hamilton equations
2. Canonical trasformations
3. Hamilton-Jacobi methods.