ITALIANO

Algebra tensoriale; Analisi tensoriale; Cinematica dei corpi continui; Dinamica dei corpi continui; Equazioni costitutive; Fluidi ideali; Fluidi elastici; Fluidi newtoniani; Corpi elastici.

Morton E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, New York, 1981.

Conoscenze e capacità di comprensione: Il corso intende fornire le nozioni di base della teoria della meccanica dei sistemi continui.

Capacità di applicare conoscenze e comprensione: L’obiettivo del corso è rendere lo studente capace di utilizzare gli strumenti dell’algebra e dell’analisi tensoriale per lo studio dei modelli della meccanica dei corpi continui deformabili.

Abilità comunicative: Il corso intende trasferire allo studente la capacità di utilizzare il rigore del linguaggio matematico per spiegare i fenomeni fisici legati al moto dei corpi continui deformabili.

E’ richiesta la conoscenza delle nozioni e degli strumenti di base dell’Analisi Matematica e della Geometria nonché della meccanica dei sistemi discreti di punti e dei corpi rigidi.
Per sostenere la prova d’esame lo studente deve aver superato l’esame di Meccanica Razionale.

Lezioni frontali. La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata.

L’esame prevede una prova orale. Essa consiste nella trattazione e discussione di argomenti del programma svolto a lezione ed ha una durata di circa 30 minuti. Oltre a verificare il livello di conoscenza raggiunto dallo studente, la prova orale mira ad accertare la comprensione dei fenomeni fisici legati al moto dei corpi continui deformabili e la capacità di saperli descrivere.
Per poter sostenere la prova orale è necessario esibire un documento di riconoscimento in corso di validità.

1. Algebra tensoriale e analisi tensoriale (1 CFU)
Tensori del secondo ordine; operazioni tra tensori; tensori simmetrici e antisimmetrici; traccia e determinante; tensori invertibili; gruppo ortogonale e gruppo delle rotazioni; teorema di decomposizione polare.
Differenziabilità per applicazioni definite e a valori in spazi vettoriali normati a dimensione finita; regola di derivazione del prodotto; regola di derivazione delle funzioni composte; campi scalari, vettoriali e tensoriali; gradiente; divergenza; rotore; laplaciano; curve dello spazio; circuitazione; flusso; teorema della divergenza; teorema di localizzazione.

2. Cinematica dei corpi continui (2 CFU)
Deformazione di un corpo continuo; gradiente di deformazione; spostamento e gradiente di spostamento; deformazione omogenea; proprietà delle deformazioni omogenee; decomposizione di una deformazione omogenea in una traslazione e una deformazione omogenea che lascia fisso un punto; rotazioni e dilatazioni; decomposizione polare; estensioni semplici; decomposizione spettrale; analisi locale della deformazione; deformazioni rigide; caratterizzazione delle deformazioni rigide; legge di trasformazione degli integrali; deformazioni isocoriche; deformazioni rigide infinitesime; spostamento rigido infinitesimo; caratterizzazione degli spostamenti rigidi infinitesimi; moto di un corpo continuo; descrizione materiale e spaziale della velocità; campi materiali e spaziali; descrizione spaziale di un campo materiale; descrizione materiale di un campo spaziale; derivata materiale (rispetto al tempo) di un campo spaziale; traiettorie e linee di corrente; moto stazionario; velocità nei punti di frontiera in un moto stazionari; campi stazionari; moti rigidi; caratterizzazione dei moti rigidi; campo di velocità di un moto rigido; analisi locale del campo di velocità di un moto generico; moti piani; teorema del trasporto del volume; moti isocorici; caratterizzazione dei moti isocorici; teorema del trasporto di Reynolds; teorema del trasporto dello spin; moti irrotazionali; teorema di Lagrange- Cauchy; curve materiali; circuitazione del campo di velocità lungo una curva materiale; teorema di Kelvin; curva (o linea) vorticosa; caratterizzazione delle curve vorticose; teorema del trasporto della vorticità (o di Helmotz).

3. Dinamica dei corpi continui (2 CFU)
Principio di conservazione della massa; equazione di continuità della massa; teorema di conservazione della massa per un volume di controllo; teorema del trasporto per integrali che coinvolgono il prodotto della densità per un campo spaziale; quantità di moto; momento della quantità di moto; centro di massa.; forza di volume agente su un corpo continuo; ipotesi d Cauchy; sforzo interno di Cauchy; equazioni di Eulero (di bilancio) per un sistema continuo deformabile; teorema dei lavori virtuali; teorema (lemma) di Cauchy; tensore degli sforzi; teorema di bilancio della quantità di moto per un volume di controllo; teorema della potenza; teorema di Bernoulli.

4. Equazioni costitutive. Fluidi ideali, fluidi elastici, fluidi newtoniani e corpi elastici (3 CFU)
Ipotesi costitutive; processo dinamico; corpo materiale; processo dinamico isocorico; corpo materiale incomprimibile; processo dinamico euleriano; fluido ideale (o perfetto); equazioni del moto di un fluido ideale; proprietà dei fluidi ideali; fluido elastico; proprietà dei fluidi elastici; piccole perturbazioni allo stato di quiete per i fluidi elastici; equazioni dell'acustica lineare; moti legati da un cambio di osservatore; relazioni tra le grandezze legate al moto di un corpo continuo visto da due osservatori; processi dinamici legati da un cambio di osservatore; risposta di un corpo materiale indipendente dall'osservatore; invarianza della risposta di un fluido ideale o elastico rispetto ad un cambio di osservatore; tensore esponenziale; funzioni scalari o tensoriali isotrope; rappresentazione delle funzioni tensoriali lineari e isotrope; espressione della funzione di risposta di un fluido newtoniano nell'ipotesi di invarianza della risposta rispetto ad un cambio di osservatore; equazioni di Navier-Stokes; teorema di bilancio dell'energia per un fluido newtoniano; potenza degli sforzi in un fluido newtoniano; teorema del trasporto della circuitazione e dello spin per un fluido newtoniano; teorema di unicità per il problema viscoso; teorema di stabilità; equazione costitutiva dei corpi elastici; gruppo di simmetria; materiale isotropo; lo sforzo di Piola-Kirchhoff; equazioni del moto nella configurazione di riferimento; teorema della potenza spesa; il tensore di elasticità e relative proprietà; corpi linearmente elastici; elastostatica lineare; elastodinamica lineare.

Italian

Tensor Algebra; Tensor Analysis; Kinematics of deformations and motions; Dynamics; Constitutive assumptions; Ideal fluids; Elastic fluids; Newtonian fluids; Elastic bodies.

Morton E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, New York, 1981.

Knowledge and understanding: The aim of the course is to provide the basic notions of the theory of continuum mechanics.

Applying knowledge and understanding: The course aims to let the students be able to use the tools of the tensorial algebra and analysis to study the models of deformable bodies.

Communication skills: The course aims to teach the ability to use the mathematical accuracy to explain the physical phenomena related to the motion of the deformable bodies.

The basics of Mathematical Analisys and Geometry are required.
The students can take the exam if they preliminarly passed the exam of "Meccanica Razionale".

Frontal lessons. Participation is not mandatory but it is recommended.

The exam consists of an oral test. It includes the discussion of the topics of the program. It lasts about 30 minutes and aims to ascertain the understanding of physical phenomena related to the motion of deformable bodies and the ability to describe them.
To take the oral exam, a valid identity document must be shown.

Tensor Algebra and Analysis (1 CFU)

Kinematics of deformations and motions (2 CFU)

Dynamics (2 CFU)

Constitutive assumptions; Ideal fluids; Elastic fluids; Newtonian fluids; Elastic bodies (3 CFU)