L’attività del gruppo di ricerca verte principalmente sullo studio delle Geometrie di Galois, geometrie di incidenza e teoria dei codici. 

Le principali linee di ricerca sono descritte di seguito.

Studio di insiemi lineari

Gli insiemi lineari sono particolari sottostrutture di uno spazio proiettivo definito su un campo finito che generalizzano la nozione di sottogeometria. Sebbene la loro introduzione sia molto recente, sono stati utilizzati in diversi settori della geometria combinatoria e dell’algebra per risolvere problemi di classificazione e/o costruzione, come ad esempio nella teoria dei semifield, dei blocking set e più di recente nella teoria dei codici. Il gruppo di ricerca si propone di costruire insiemi lineari con peculiari proprietà, spesso definite dalle loro applicazioni, e dare risultati di caratterizzazione.  

Caratterizzazioni in  strutture di incidenza 

Ricostruire strutture di incidenza finite o loro sottoinsiemi speciali di punti partendo da relazioni aritmetiche su alcuni dei loro parametri (globali o locali) e/o da alcune loro  proprietà geometriche è un problema che si presenta in modo naturale nello studio delle geometrie finite. Rientra in tale ambito lo studio dei sottoinsiemi di punti dello spazio proiettivo finito PG(r,q) a partire dalle loro intersezioni con gli iperpiani dello spazio per caratterizzare oggetti classici quali ad esempio  quadriche, varietà Hermitiane e  sottogeometrie.  In generale, la sola conoscenza delle intersezioni con gli iperpiani non permette di caratterizzare tali oggetti senza prescrivere  ulteriori condizioni. Lo studio di tali insiemi è anche motivato dalle loro relazioni con la teoria dei codici. Si propone  di studiare gli insiemi di punti di uno spazio proiettivo finito  che hanno le stesse intersezioni con gli iperpiani di quadriche e altre varietà notevoli, trovando esempi di tali insiemi che non siano oggetti classici (in tal caso  in letteratura si fa precedere al nome dell’oggetto classico il termine quasi, quindi  quasi-quadriche o più in generale spazi quasi-polari  che non siano spazi polari) e dare ulteriori risultati di caratterizzazione. 

Polinomi su campi finiti

La teoria dei polinomi su campi finiti assume un rilievo fondamentale nello studio di proprietà algebriche dei campi finiti e nelle relative applicazioni, basti pensare al fatto che i polinomi irriducibili sono indispensabili per costruire campi finiti. Il gruppo di ricerca focalizza il suo studio sui polinomi linearizzati, ovvero quei polinomi che sono in corrispondenza biunivoca con le applicazioni lineari, e polinomi con peculiari proprietà, come quella di essere di permutazione o APN che sono d’interesse per il loro uso in crittografia.

Costruzioni e algoritmi di decodifica per codici lineari

Al giorno d’oggi la teoria dei codici assume un ruolo di fondamentale importanza nella teoria dell’informazione, vista la necessità di dover comunicare in modo veloce ed efficiente. Claude Elwood Shannon nel 1948 dimostrò che è sempre possibile comunicare in modo efficiente, non esistono metodi generali per la costruzione di codici efficienti. Gli obiettivi del gruppo di ricerca pertanto sono volti allo sviluppo di tecniche atte a costruire codici efficienti attraverso tecniche algebriche e geometriche e studiare proprietà di decodificabilità di un codice, determinando il possibile uso effettivo. 

 

Il gruppo di ricerca ha collaborazioni con diversi ricercatori da centri di ricerca italiani e non. 

 

Settori scientifico disciplinari di riferimento:

MAT/03

Categorie ISI WEB di riferimento:

Mathematics

Informatics

Attività del gruppo

 

Con la collaborazione di Marco Timpanella (Università degli studi di Perugia) e Giovanni Zini (Università degli studi di Modena e Reggio Emilia), organizza due cicli di seminari con cadenza mensile. Il primo è rivolto a ricercatori con esperienza nel settore della geometria combinatoria e della teoria dei codici, mentre il secondo è invece dedicato a giovani ricercatori.

 

Seminars

Young Seminars

 

 

Nel Luglio 2022 sarà organizzata dal gruppo, insieme con altri membri del dipartimento, una scuola estiva (virtuale) dal titolo “Contemporary algebraic and geometric techniques in coding theory and cryptography” con un finanziamento da parte di “VALERE:VAnviteLli pEr la RicErca”.

 

Progetti in cui i membri del gruppo sono stati coinvolti di recente sono:

GoAL e PQCrypto (VALERE:VAnviteLli pEr la RicErca), Research in pairs MFO, DIAMANT cluster.