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Connessione delle teorie della gravitazione, dell’elettrostatica, magnetismo e della diffusione del calore con le equazioni di Laplace e di Poisson.
Proprietà essenziali delle funzion armoniche: teoremi della media di Gauss, principio del massimo, teoremi tipo Harnack, teorema di Liouville, formule di Stokes.
Integrale di Poisson. Teoremi di Newton—Ferrers relativi all’ellissoide, caratterizzazione di ellissoidi.
Problemi di Dirichlet e di Neumann per l’equazione di Laplace in domini limitati ed esterni. Teoremi di esistenza e di unicità.

Appunti distribuiti dal docente.
C. Miranda – Istituzioni di Analisi funzionale lineare, UMI (1976) (per le nozioni essenziali di analisi funzionale)
E. Giusti – Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, UMI (1994) (per la parte concernente gli spazi di Sobolev)

Il corso intende fornire una conoscenza essenziale della teoria delle funzioni armoniche e della sua applicazioni a classiche teorie della Fisica.
Al termine del percorso formativo, lo studente sarà in grado di utilizzare le conoscenze acquisite ai fini della descrizione di fenomeni gravitazionali, elettrostatici e magnetici

L’approccio al programma formativo richiede la conoscenza delle nozioni dell’Analisi Matematica 1 e 2 e della geometria (ovvero, limiti, derivate, integrali, geometria delle curve e superficie).
Per sostenere le prove d'esame, lo studente deve aver superato gli esami di Analisi Matematica 1, 2 e Geometria 1.

Il corso è articolato in 64 ore di lezione frontali .
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

L'esame prevede una prova orale

Nozioni fondamentali sugli spazi di Sobolev, teoremi di traccia e di immersione.
Alternativa di Fredholm.
Relazione della teoria della gravitazione newtoniana con l’equazione di Laplace,
Teoremi della media di Gauss. Principio del massimo.
I potenziali armonici di strato e di volume,
Formula di Stokes in domini limitati ed esterni.
Disuguaglianze di Caccioppoli, di Campanato e di Rellich.
Problemi al contorno di Dirichlet, Neumann e Robin,
Capacità elettrostatica.
Proprietà di traccia e rogolarità dei potenziali di strato e di volume.
Teoremi di esistenza e di unicità.
L’integrale di Poisson per la sfera e per il semi-spazio,
Il principio di Dirichlet.
Il Teorema di Newton-Ferrers.
Il teorema di Dive-Niclibork.
Caratterizzazione degli ellissoidi.
Superficie equipotenziali. Teorema di J. Ivory.
Il teorema di C. McLaurin sugli ellisooidi.
Forma dei pianeti.
Il problemi di Dirichlet e di Neumann per gli ellissoidi. Teoremi di esistenza e di unicità.
Il paradosso di Stokes.
Domini di quadratura nulla.

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