ITALIANO

Statistica descrittiva: Terminologia statistica e concetti introduttivi; Distribuzione sperimentale dei dati e rappresentazione; Distribuzione congiunta di due caratteri; Analisi dell’associazione tra due caratteri;
Probabilità: Concetti di base di teoria della misura; Spazi di misura; Funzioni misurabili e variabili aleatorie; Integrali e valori di aspettazione; Aspettazione condizionata; Principali distribuzioni di probabilità; momenti di variabili aleatorie; Vari tipi di convergenza; Teoremi asintotici.
Analisi statistica dei dati con R

1. Statistica per le decisioni, Domenico Piccolo. Edizione Il Mulino
2. Statistica: Principi e Metodi, Giuseppe Cicchitelli. Edizione Pearson.
3.SCHILLING, R. Measures, integrals and martingales. Cambridge University Press, 2005.
4. A. Buonocore, A. Di Crescenzo, L.M: Ricciardi, Appunti di Probabilità, Liguori Editore. (2011)
5. D.Williams, Probability with martingales, Cambridge Mathem. Univ.(1991)

Il corso fornisce le basi metodologiche della modellizzazione probabilistica e della statistica descrittiva. In coerenza con i Descrittori di Dublino, al termine dell’insegnamento lo studente avrà acquisito: (1) conoscenza e comprensione dei fondamenti della teoria della probabilità, delle variabili aleatorie e degli strumenti della statistica descrittiva; (2) capacità di applicare conoscenza e comprensione alla risoluzione di problemi probabilistici e statistici e all’analisi dei dati mediante R; (3) autonomia di giudizio nella scelta e interpretazione dei modelli e degli strumenti di analisi; (4) abilità comunicative nel presentare e discutere risultati quantitativi; (5) capacità di apprendimento necessarie per approfondire temi avanzati di probabilità e statistica.

L’approccio al programma formativo richiede saper utilizzare gli strumenti propri dell’Analisi Matematica 1 (ovvero, limiti, derivate, integrali).

Il corso è articolato 72 ore di lezioni frontali (di cui 48 per Probabilità, 24 per Statistica descrittiva, di cui 12 ore di esercitazione svolte in laboratorio di calcolo).
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

L'esame prevede una elaborato scritto per la parte di Statistica. La prova scritta per la parte di Statistica, della durata di circa 2 ore, si svolge in aula e consiste nella risoluzione di quattro esercizi. E’ previsto l’esonero dalla prova scritta per gli studenti in corso che abbiano frequentato regolarmente le lezioni e le esercitazioni e che abbiano conseguito una valutazione complessiva superiore alla sufficienza sugli elaborati prodotti in sede di prove intercorso. Queste ultime consistono nella risoluzione di esercizi di statistica descrittiva.
Per la parte di Probabilità si prevede la preparazione di un elaborato che include la risoluzione di alcuni quesiti teorici di Teoria della Probabilità e la risoluzione di alcuni esercizi di Calcolo delle Probabilità. La prova orale consiste nella presentazione e la discussione dell'elaborato.
La prova orale contribuisce al voto finale con un peso del 60% .

Ricevimento studenti: sempre a fine lezione, o su appuntamenti.

Statistica descrittiva (12 ore)

Terminologia statistica e concetti introduttivi. Popolazione, campione, unità statistiche e caratteri statistici. Classificazione dei caratteri statistici. Trasformazione delle variabili. Suddivisione in classi. Principi fondamentali del campionamento.

Distribuzione sperimentale dei dati e rappresentazione dell’informazione statistica. Frequenze assolute, relative e cumulate. Tabelle statistiche. Diagrammi di frequenza e istogrammi.

Indici di posizione e indici di dispersione. Misure sintetiche per la descrizione dei fenomeni statistici.

Distribuzioni congiunte di due caratteri. Frequenze congiunte e marginali. Analisi dell’associazione tra due variabili. Indipendenza, dipendenza e interdipendenza. Misure di correlazione e associazione tra caratteri quantitativi e qualitativi.

Introduzione all’analisi congiunta di più variabili e alla rappresentazione multidimensionale dell’informazione.

Applicazioni mediante il software R: gestione dei dati, statistica descrittiva, rappresentazioni grafiche e studio delle relazioni tra variabili.

Probabilità e teoria della misura (40 ore)

Algebre e σ-algebre. Spazi misurabili e misure. Unicità di una misura. Altre classi di sottoinsiemi. Estensione di una pre-misura. Spazi di probabilità.

Funzioni misurabili. Operazioni tra funzioni misurabili. Lemma di composizione. Variabili aleatorie. Legge di probabilità e funzione di distribuzione. Proprietà delle funzioni di distribuzione. Rappresentazione di Skorokhod.

Teorema della classe monotona. Indipendenza di σ-algebre. Lemma π-λ. Lemmi di Borel-Cantelli. Legge zero-uno di Borel-Cantelli. σ-algebra coda e legge zero-uno di Kolmogorov.

Convergenza di successioni di variabili aleatorie. Teorema di convergenza monotona (enunciato). Teorema della convergenza dominata.

Valore atteso e momenti. Formula fondamentale per il calcolo della media. Disuguaglianze di Jensen (enunciato), Markov, Schwarz e Chebyshev.

Leggi dei grandi numeri. Legge debole dei grandi numeri. Una legge forte dei grandi numeri. Teorema di Bernoulli. Teorema centrale del limite.

Misure prodotto e integrazione multipla. Teorema di Fubini (enunciato). Distribuzioni congiunte e densità di probabilità. Indipendenza e prodotto di misure. Estensione al caso multidimensionale.

Laboratorio statistico con R (12 ore)

Introduzione all’ambiente statistico R. Simulazione di modelli probabilistici. Studio empirico delle distribuzioni e dei principali risultati teorici della probabilità. Visualizzazione grafica dei risultati.

Italian

Descriptive Statistics and Probability. Main theorems.
Probability theory: Basic concepts of measure theory; Measure spaces; Measurable functions and random variables; Integrals and expectation values; Conditioned expectation; Main probability distributions; moments of random variables; some types of convergence; Asymptotic theorems.
Data Analysis with R.

1. Statistica per le decisioni, Domenico Piccolo. Edizione Il Mulino
2. Statistica: Principi e Metodi, Giuseppe Cicchitelli. Edizione Pearson
3.SCHILLING, R. Measures, integrals and martingales. Cambridge University Press, 2005.
4. A. Buonocore, A. Di Crescenzo, L.M: Ricciardi, Appunti di Probabilità, Liguori Editore.(2011)
5. D.Williams, Probability with martingales, Cambridge Mathem. Univ.(1991)

The course provides the methodological foundations of probabilistic modelling and descriptive statistics. In accordance with the Dublin Descriptors, by the end of the course students will have acquired: (1) knowledge and understanding of probability theory, random variables and descriptive statistical methods; (2) the ability to apply knowledge and understanding to solve probabilistic and statistical problems and to analyse data using R; (3) the ability to make informed judgements in selecting and interpreting models and analytical tools; (4) communication skills for presenting and discussing quantitative results; (5) learning skills required for further study in probability and statistics.

The course requires knowledge of Analysis I.

This course counts 72 hours of lectures. This includes 48 hours of lectures on Probability, 24 hours of lectures related to descriptive statistics review, including 12 hours of laboratory exercises with R.

The exam will consist in a written examination (about 2 hours with exercises of descriptive statistics ).
However it is possible to do an oral discussion for Statistics.
For students attended course it is possible to be relieved from the written examination since two mid-term examinations are planned during the course.
The Probability section requires the preparation of a project including the resolution of theoretical questions on probability theory and the resolution of some exercises of Probability calculus. The oral exam consisting of the presentation and discussion of the project.
The final evaluation will take into account in the 60% of the evaluation of the Probability project.

Time dedicate to additional explanation for students: after each lesson, or on appointments.

Descriptive Statistics (12 hours)

Statistical terminology and introductory concepts. Population, sample, statistical units and statistical variables. Classification of statistical variables. Variable transformations. Grouping into classes. Basic principles of sampling.

Empirical distributions and statistical data representation. Absolute, relative and cumulative frequencies. Statistical tables. Frequency diagrams and histograms.

Measures of central tendency and dispersion. Summary measures for the description of statistical phenomena.

Joint distributions of two variables. Joint and marginal frequencies. Analysis of the association between two variables. Independence, dependence and interdependence. Measures of correlation and association for quantitative and qualitative variables.

Introduction to the joint analysis of multiple variables and to the multidimensional representation of statistical information.

Applications using the R software environment: data management, descriptive statistical analysis, graphical representations and analysis of relationships among variables.

Probability and Measure Theory (40 hours)

Algebras and σ-algebras. Measurable spaces and measures. Uniqueness of a measure. Other classes of subsets. Extension of a pre-measure. Probability spaces.

Measurable functions. Operations on measurable functions. Composition lemma. Random variables. Probability laws and distribution functions. Properties of distribution functions. Skorokhod representation.

The Monotone Class Theorem. Independence of σ-algebras. The π-λ Lemma. The Borel-Cantelli Lemmas. The Borel-Cantelli Zero-One Law. Tail σ-algebras and Kolmogorov’s Zero-One Law.

Convergence of sequences of random variables. Monotone Convergence Theorem (statement). Dominated Convergence Theorem.

Expectation and moments. Fundamental expectation formula. Jensen’s inequality (statement), Markov’s inequality, Schwarz’s inequality and Chebyshev’s inequality.

Laws of Large Numbers. Weak Law of Large Numbers. A Strong Law of Large Numbers. Bernoulli’s Theorem. Central Limit Theorem.

Product measures and multiple integration. Fubini’s Theorem (statement). Joint probability distributions and probability density functions. Independence and product measures. Extension to the multidimensional case.

Statistical Computing with R (12 hours)

Introduction to the R statistical environment. Simulation of probabilistic models. Empirical investigation of probability distributions and of the main theoretical results of probability theory. Graphical visualization and interpretation of results.