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    Giuseppina DI BLASIO

    Insegnamento di ISTITUZIONI DI MATEMATICHE

    Corso di laurea in BIOTECNOLOGIE

    SSD: MAT/05

    CFU: 10,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 80,00

    Periodo di Erogazione: Primo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    I numeri e le funzioni reali. Limiti di successioni. Serie numeriche. Limiti di funzioni. Derivate. Applicazioni delle derivate. Integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile. Integrali indefiniti. Funzioni di più variabili. Equazioni differenziali.

    Testi di riferimento

    M. BRAMANTI-C.D. PAGANI-S. SALSA, Analisi Matematica I, Zanichelli Editore.
    M. BRAMANTI-C.D. PAGANI-S. SALSA, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli Editore.
    P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Elementi di Calcolo, Liguori Editore.
    P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica I, 1˚ volume, Liguori Editore.
    A. ALVINO-G. TROMBETTI, Elementi di Matematica I, Liguori Editore.
    A. ALVINO-L. CARBONE-G. TROMBETTI, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore.
    N. FUSCO- P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori Editore.

    Obiettivi formativi

    L'insegnamento si prefigge di fornire gli strumenti matematici che sono necessari per poter affrontare ulteriori esami del corso di studi.
    Al termine del corso lo studente avrà acquisito non solo le tecniche di calcolo maggiormente utilizzate nelle applicazioni ma avrà sviluppato la capacità di ragionamento e di trarre conclusioni in modo critico ed autonomo.

    Prerequisiti

    Conoscenze di calcolo di base

    Metodologie didattiche

    Il corso è articolato in 80 ore di lezioni frontali svolte dal docente in cui verranno esposti gli argomenti di teoria e molteplici esempi. Parte delle lezioni varranno dedicate allo svolgimento di esercizi strettamente collegati alla parte teorica.

    Metodi di valutazione

    L’esame consiste nel superamento, con una votazione di almeno 16/30, di una prova scritta della durata di 120 minuti, dove lo studente, attraverso la risoluzione degli esercizi, dovrà applicare le conoscenze di calcolo e teoriche acquisite durante il corso. Il superamento della prova scritta è propedeutico all’esame orale.
    Durante il corso si effettueranno delle prove intercorso, il cui superamento significherà il superamento della prova scritta.
    L’esame orale è volto a valutare la capacità di ragionamento e di collegamento tra i vari argomenti del corso ed è costituito da domande sulle definizioni e teoremi trattati durante il corso al fine di mostrare autonomia di ragionamento. Saranno, inoltre, discussi gli aspetti trattati durante lo scritto. La valutazione finale sarà espressa in trentesimi e terrà conto dell’esito della prova orale (70%), della prova scritta (30%).

    Altre informazioni

    Allo studente è data la possibilità di seguire un corso di Tutorato di supporto al corso.
    Il docente è disponibile a chiarimenti durante gli orari di ricevimento presenti sul sito nei giorni indicati sulla scheda
    insegnamento e su richiesta inoltrata via email.

    Programma del corso

    I numeri e le funzioni reali: Cenni di teoria degli insiemi; Enti primitivi: unione, intersezione differenza, prodotto cartesiano; relazione, grafico, rappresentazione grafica; campo ordinato completo, gli assiomi dei numeri reali; alcune conseguenze degli assiomi dei numeri reali; numeri naturali, interi, razionali; proprietà di completezza; definizioni di massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore; funzioni e rappresentazione cartesiana; funzioni composte, funzioni iniettivo, suriettive, invertibili; funzioni monotone; funzioni limitate; funzioni monotone, funzioni simmetriche, funzioni periodiche; restrizioni e prolungamenti di funzioni; funzione lineare¸ funzione valore assoluto; funzione potenza; funzione esponenziale e logaritmo, le funzioni trigonometriche e le loro inverse; risoluzione grafica, algebra di equazioni e disequazioni elementari.

    Limiti di successioni: Definizione di successione di numeri reali; definizione di limite, successioni convergenti, divergenti ed oscillanti; teorema dell’unicità del limite; successioni limitate e monotone; operazioni con i limiti; forme indeterminate; teorema della permanenza del segno, teorema dei Carabinieri; successioni infinitesime, teorema del limite del prodotto di una successione limitata per una infinitesima; alcuni limiti notevoli (s.d. eccetto i limiti limnsen an , limn sen an / an dove an→0); teorema di regolarità delle successioni monotone (s.d.); gerarchia degli infiniti fondamentali, il numero di Neplero (s.d.).

    Limiti di funzioni: Definizione di punto di accumulazione per un insieme numerico; definizione di intorno, definizione di limite di funzione reale di una variabile reale: funzioni convergenti, divergenti, oscillanti; definizione di limite desto e sinistro, esempi e proprietà dei limiti di funzioni, operazioni con i limiti di funzioni; limiti di funzioni composte (s.d.), teorema unicità del limite (s.d.), connessione tra limiti di funzioni e limiti di successioni: teorema ponte (s.d.), teoremi del confronto (s.d.); funzioni continue e relative proprietà, classificazione delle discontinuità ed esempi: punti di salto, discontinuità di seconda specie, discontinuità eliminabile, prolungamento per continuità; continuità delle funzioni elementari; teorema di Weierstrass (s.d.) e relativi controesempi, il teorema degli zeri (s.d.) ed applicazioni, il teorema dei valori intermedi, criterio di continuità per le funzioni monotone (s.d.), continuità delle funzioni inverse (s.d.); limiti notevoli (s.d.); confronto tra infinitesimi, confronto tra infiniti, applicazioni.

    Derivate: Definizione di derivata e significato geometrico, esempi di funzioni derivabili e non derivabili, equazione della retta tangente, legami tra derivabilità e continuità, controesempi; definizione di derivata desta e sinistra, punti di cuspide, angolosi e flessi a tangente verticale, derivate delle funzioni elementari (s.d.), operazioni con le derivate (s.d.), derivate seconde, teorema di derivazione delle funzioni inverse (s.d.); derivate delle inverse delle funzioni trigonometriche (s.d.), teorema di derivazione delle funzioni composte (s.d.), applicazioni.

    Applicazioni delle derivate: Massimi e minimi relativi, il teorema di Fermat, i teoremi di Rolle e Lagrange con relativi significati geometrici; criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo, condizioni sufficienti per massimi e minimi relativi (s.d.), funzioni convesse e concave, punti di flesso, il teorema di De Hospital (s.d.), studio del grafico di una funzione.

    Integrazione secondo Riemann per funzioni di una variabile: Definizioni e notazioni; criterio di integrabilità secondo Riemann (s.d.), integrabilità delle funzioni continue (s.d.), integrabilità delle funzioni monotone (s.d.), teorema della media, area del rettangoloide.

    Integrali indefiniti: Definizione di primitiva e proprietà, l’integrale indefinito, Il teorema fondamentale del calcolo integrale, formula fondamentale del calcolo integrale, integrazione per decomposizione in somma, integrazione delle funzioni razionali, integrazione per parti, integrazione per sostituzione.

    Numeri complessi: Campo dei numeri complessi, relazione tra R2 e C.

    Funzioni di più variabili: Funzioni reali di più variabili. Funzioni di variabile reale a valori vettoriali. Funzioni di più variabili a valori vettoriali. Cenni sugli spazi vettoriali: spazio vettoriale Rn , definizione di prodotto scalare, norma euclidea e distanza. Insiemi aperti e chiusi, definizione di punto interno, esterno e di frontiera; definizione di intorno, punto di accumulazione ed aperto, definizione di limite e continuità: esempi, derivate direzionali e derivate parziali, gradiente, funzioni differenziabili, relazione tra continuità, derivabilità e differenziabilità: teoremi ed esempi, piano tangente.

    Equazioni Differenziali: Definizioni ed esempi: il modello di Malthus. Il problema di Cauchy. Formulazione integrale del problema di Cauchy. Teoremi di esistenza ed unicità locale e globale (s.d.). Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine. Equazioni differenziali lineari omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine complete: il caso in cui il termine noto è una funzione polinomiale, esponenziale o trigonometrica. Equazioni a variabili separabili. Equazioni del tipo: y’ = g(y/x). Equazioni del tipo: y’ = g(ax+by). Equazioni di Bernulli.



    N.B.: (s.d.) = senza dimostrazione

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    Real numbers and elementary functions. Limits of sequences. Numerical series. Limits of functions. Derivatives. Applications of derivatives. Riemann integration of functions of one variable. Indefinite integrals. Multivariate functions. Ordinary Differential equations.

    Textbook and course materials

    M. BRAMANTI-C.D. PAGANI-S. SALSA, ANALISI MATEMATICA I, ZANICHELLI EDITORE.
    M. BRAMANTI-C.D. PAGANI-S. SALSA, Matematica. Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli Editore.
    P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Elementi di Calcolo, Liguori Editore.
    P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica I, 1˚ volume, Liguori Editore.
    A. ALVINO-G. TROMBETTI, Elementi di Matematica I, Liguori Editore.
    A. ALVINO-L. CARBONE-G. TROMBETTI, Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore.
    N. FUSCO- P. MARCELLINI-C. SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica 2, Liguori Editore.

    Course objectives

    The aim of this course is to provide students with the mathematical concepts necessary to tackle the exams of their course of studies and the computational techniques used in most applications.

    Prerequisites

    Basic computation and general mathematical knowledge

    Teaching methods

    The course is divided into 80 hours of lectures. During the course theory and examples will be presented. Part of the lectures will be dedicated to carrying out exercises closely related to the theoretical part.

    Evaluation methods

    The exam consists of passing, with a vote of at least 16/30, a written test lasting 120 minutes, where the student, through the resolution of the exercises, will have to apply the calculation and theoretical knowledge acquired during the course. Passing the written test is a prerequisite for the oral examination.
    During the course, elapsed tests will be carried out, the passing of which will mean passing the written test.
    The oral exam is aimed at evaluating the reasoning and connection skills between the various topics of the course and consists of questions on the definitions and theorems treated during the course to show autonomy of reasoning. The aspects covered during the written exam will also be discussed. The final evaluation will be expressed in the thirtieths and will take into account the outcome of the oral test (70%), of the written test (30%).

    Other information

    The student can take part in a Tutoring course to support the course.
    The teacher is available for clarifications during the reception hours on the site on the days indicated on the sheet
    teaching and on request forwarded via email.

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