ITALIANO

FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
•Funzioni complesse di variabile complessa e continuità
•Funzioni olomorfe
•Integrale curvilineo di una funzione complessa (e continua) lungo una curva regolare a tratti
•Primitive di funzioni complesse
•Formule integrali di Cauchy
•Successioni e serie di funzioni complesse
•Serie di potenze e funzioni analitiche
•Serie di Laurent e singolarità isolate
•Residui
•Trasformata di Fourier
•Trasformata di Laplace
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
•Esistenza e unicità per il problema di Cauchy.
•Prolungamento e intervalli massimali.
•Lemma di Gronwall.
•Dipendenza dai dati iniziali.
•Risoluzione di equazioni lineari (e sistemi)
•Equazioni lineari con condizioni al bordo
•Equazioni autonome nonlineari (analisi locale, stabilità dei punti di equilibrio, analisi globale)
•Qualche modello dalla biologia

F.J. Flanigan, Complex Variables, Dover
C. Mascia, EDO equazioni differenziali ordinarie, Pitagora
L. Piccinini, G. Stampacchia, G. Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Liguori

Relativamente alla prima tematica, il corso intende introdurre lo studente allo studio delle funzioni complesse di una variabile complessa, portandolo ad un livello adeguato di conoscenza e comprensione di:
•principali funzioni elementari di variabile complessa;
•concetto di funzione olomorfa e le sue principali proprietà;
•vari tipi di singolarità di funzioni di variabile complessa;
•metodi di integrazione di funzioni di variabile complessa;
•proprietà di base della trasformata di Fourier e di Laplace.
Per la seconda tematica gli obbiettivi formativi sono invece:
•introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie;
•fornire metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari;
•fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.

Conoscenza dei numeri complessi, conoscenza di elementi di topologia di base

64h di lezioni frontali, principalmente alla lavagna, con il possibile utilizzo di strumenti audiovisivi.

L'esame consta di una prova scritta e di una orale, tutte e due le prove sono obbligatorie. La prova scritta è propedeutica alla prova orale. Durante il corso può inoltre essere previsto lo svolgimento di una o più prove scritte parziali in sostituzione di una parte o di tutta la prova scritta.
Lo scritto dure 2 ore e consiste nello svolgimento di alcuni esercizi sia teorici sia di calcolo. Durante la prova scritta non si possono utilizzare calcolatrici, computer, etc. e non si possono
consultare libri, quaderni, appunti o formulari. La prova scritta viene valutata in trentesimi. Il punteggio minimo per superare lo scritto è di 18/30.
La prova orale consiste in una discussione relativa agli argomenti del programma del corso.
Il voto finale tiene conto del voto dello scritto e della prova orale

PARTE DI ANALISI COMPLESSA


Numeri complessi.
Numeri complessi: definizione, piano complesso, rappresentazione in forma polare, somma
e differenza, prodotto, coniugato, modulo, divisione, potenza n-esima, radice n-esima. Richiami di topologia in C e convergenza di successioni in C.

Funzioni complesse di variabile complessa.
Limiti e continuità. Derivabilità nel campo complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann (anche in coordinate polari) e condizioni necessarie e sufficienti per la derivabilità. Definizione di funzione olomorfa. Funzioni elementari: esponenziale complesso, seno e coseno complessi e altre funzioni trigonometriche complesse (definizioni, olomorfia, calcolo della derivata, periodicità, esempi). Determinazioni dell’argomento. Logaritmo complesso (definizione, proprietà, esempi, continuità ed olomorfia dei rami del logaritmo complesso, calcolo della derivata). Potenza complessa di numero complesso (definizione ed esempi).
Prime proprietà delle funzioni olomorfe (combinazione lineare, prodotto e composizione di
funzioni olomorfe), teorema di invertibilità locale, ortogonalità di curve di livello di parte reale e parte immaginaria. Definizioni di Laplaciano e di funzioni armoniche in domini del piano. Esempi di funzioni armoniche. Relazione tra funzioni olomorfe e funzioni armoniche.

Integrale curvilineo di una funzione complessa (e continua) lungo una curva regolare a tratti.
Definizione. Principali proprietà dell’integrale curvilineo (deducibili dall’integrale delle forme differenziali associate). L’integrale curvilineo di una funzione olomorfa in un dominio regolare con k buchi calcolato sul bordo orientato del dominio è nullo.

Primitive di funzioni complesse.
Definizione di primitiva di una funzione continua. f continua ammette primitiva in E se e solo se le due forme associate sono esatte in E e in tal caso la primitiva di f ha come parte reale e parte immaginaria rispettivamente le primitive delle due forme. Altre condizioni necessarie e sufficienti per l’esistenza di primitive in termini di integrali curvilinei di f. Una funzione olomorfa in un dominio semplicemente connesso ammette primitiva (e una funzione olomorfa ammette quindi primitiva locale). Teorema fondamentale del calcolo per funzioni complesse.

Formule integrali di Cauchy.
La prima formula integrale di Cauchy. Principio di massimo modulo. Continuità e derivabilità di integrali dipendenti da parametro. Una funzione olomorfa è Cinfinito e seconda formula integrale di Cauchy per la derivata. Teorema di Morera. Teorema di Liouville. Alcune applicazioni del teorema di Liouville: le uniche funzioni intere a crescita polinomiale sono i polinomi, le uniche funzioni intere a crescita esponenziale sono le esponenziali, teorema fondamentale dell’algebra.

Successioni e serie di funzioni complesse.
Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Il limite uniforme di successioni di funzioni continue è una funzione continua, teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale curvilineo per successioni uniformemente convergenti. Convergenza uniforme di funzioni olomorfe (teorema di Weierstrass). Convergenza puntuale, assoluta, uniforme, totale di serie di funzioni.

Serie di potenze e funzioni analitiche.
Definizione di serie di potenze e studio della loro convergenza (teorema del raggio di convergenza).
La somma della serie è una funzione olomorfa nella palla di convergenza in cui `è definita. La serie di potenze delle derivate n-esime ha lo stesso raggio di convergenza della serie di potenze e la sua somma è la derivata n-esima della somma della serie. Funzioni analitiche: definizione, serie di Taylor. Le funzioni olomorfe sono analitiche. Zero di una funzione olomorfa e ordine di uno zero. Studio degli zeri delle funzioni olomorfe, grazie alla proprietà di analiticità (funzione olomorfa nulla su una successione di punti convergente è identicamente nulla su tutto il dominio).

Serie di Laurent.
Definizione e loro convergenza. Una funzione olomorfa in una corona circolare ammette un
unico sviluppo in serie di Laurent. Classificazione dei punti di singolarità isolata. Teorema di
caratterizzazione della singolarità eliminabile. Teorema di caratterizzazione della singolarità
di tipo polo. Condizione necessaria per singolarità essenziale.

Residui.
Definizione. Calcolo del residuo in un polo (di ordine 1 e di ordine m, m> 1). Teorema dei
residui per il calcolo dell’integrale curvilineo di una funzione con singolarità isolate. Applicazione del teorema dei residui al calcolo dell’integrale di alcuni tipi di funzioni di variabile reale.




PARTE DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE:

Definizioni di base.
Definizione di equazione differenziale ordinaria e di una sua soluzione. Forma normale. Riduzione di una equazione differenziale di ordine k in una equazione differenziale di ordine 1 in forma normale. Equazione autonoma. Problema di Cauchy. Modello di crescita Malthusiano e di Verhulst di una popolazione.
Esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy.
Richiami: funzione lipschitziana, spazio metrico completo, insiemi aperti e chiusi, successioni di Cauchy. Definizione di contrazione. Definizione di punto fisso. Teorema delle contrazioni. Teorema di esistenza e unicità locale per il problema di Cauchy.
Alcune classi di equazioni integrabili del primo ordine.
Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari a coefficienti continui. Equazione di Bernoulli. Equazioni omogenee. Equazioni riconducibili a equazioni omogenee.
Unicità e Prolungabilità.
Unicità locale e globale. Conseguenza dell’unicità sulle traiettorie e sulle orbite. Il fenomeno di Peano. Prolungamento di una soluzione di un’equazione differenziale. Soluzione massimale e intervallo massimale. Teorema di esistenza e unicità del prolungamento massimale. Teorema della fuga dai compatti. Esempi.
Alcuni criteri di esistenza globale.
Criteri di compatezza e limitatezza. Criterio delle direttrici di Liapunov. Teoremi di esistenza globale.
Dipendenza dai dati inziali.
Disequazioni differenziali. Lemma di Gronwall. Continuità e derivabilità rispetto ai dati iniziali.
Sistemi lineari.
Sistemi lineari omogenei del primo ordine. Sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti. Sistemi lineari non omogenei a coefficienti costanti. Matrice fondamentale. Wronskiano. Esponenziale di una matrice e sue proprietà.
Equazioni differenziali di ordine n a coefficienti costanti omogenee. Teorema di variazione delle costanti. Equazioni differenziali non omogenee: il metodo di somiglianza.
Cenni di analisi asintotica
Criterio del confronto e criterio dell’asintoto.
Sistemi non lineari autonomi
Sistemi planari. Analisi locale nei punti regolari. Analisi locale nei punti singolari. Stabilità dei punti di equilibrio.

Italian

COMPLEX VARIABLE FUNCTIONS
• Complex functions of complex and continuous variable
• Holomorphic functions
• The curvilinear integral of a complex (and continuous) function
• Primitives of complex functions
• Cauchy integral formulas
• Succession and series of complex functions
• Power series and analytical functions
• Laurent series and isolated singularities
• Residues
• Fourier transform
• Laplace transform
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
• Existence and uniqueness for the Cauchy problem.
• Extension and maximum intervals.
• Gronwall Lemma.
• Dependence on initial data.
• determination of linear equations (and systems)
• Linear equations with boundary conditions
• Nonlinear autonomous equations (local analysis, the stability of equilibrium points, global analysis)
• Some models from biology

F.J. Flanigan, Complex Variables, Dover
C. Mascia, EDO equazioni differenziali ordinarie, Pitagora
L. Piccinini, G. Stampacchia, G. Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Liguori

The aim of the first part of the course is to give the following tools
• main elementary functions of complex variable;
• concept of a holomorphic function and its main properties;
• various types of singularities of complex variable functions;
• methods of integration of complex variable functions;
• basic properties of the Fourier and Laplace transforms.
For the second part of the course, the objectives are:
• input the student to the main concepts and problems related to ordinary differential equations;
• research methods for solving systems of linear and nonlinear differential equations;
• provide tools for the qualitative study of the solutions of a differential equation.

Complex numbers and basic topology elements

64h of lectures, mainly on the blackboard, with the possible use of audiovisual tools.

The exam consists of a written and an oral test, both of which are mandatory. The written test is preparatory to the oral test. During the course, one or more partial written tests may be held to replace a part or all of the written test.
The writing lasts 2 hours and consists of some theoretical and computational exercises. Calculators, computers, etc. cannot be used during the written test. The student can not consult books, notebooks, notes or forms. The written test is evaluated in thirtieths. The minimum score to pass the written exam is 18/30.
The oral exam consists of a discussion on the topics of the course program.
The final grade takes into account the grade of the written exam and the oral exam