ITALIANO

L'insegnamento si articola in 2 moduli.

Modulo A (6CFU) – Analisi Funzionale
Gli obiettivi formativi del modulo A riguardano la conoscenza e la comprensione dei concetti e strumenti fondamentali dell'analisi funzionale: il Teorema di Hahn-Banach e sue principali conseguenze negli spazi normati; il principio di uniforme limitatezza e il teorema della mappa aperta.
Le proprietà degli spazi riflessivi, di quelli separabili e di quelli uniformemente convessi.
Particolare attenzione verrà data al riconoscimento delle proprietà funzionali negli spazi di funzioni già conosciuti dagli studenti come gli spazi L^p e gli spazi di Hilbert.

Modulo B (6CFU) – Teoria delle Distribuzioni e Funzioni debolmente differenziabili
Il corso intende fornire la conoscenza di alcuni argomenti che, anche in vista delle numerose applicazioni, sono considerati fondamentali nello studio dell’Analisi Matematica quali la Teoria delle Distribuzioni di Schwarz e gli spazi di funzioni debolmente differenziabili con particolare attenzione agli spazi di Sobolev.

Testi Consigliati

1. Lieb, Elliott H.; Loss, Michael Analysis. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xxii+346 pp. ISBN: 0-8218-2783-9
2. Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp. ISBN: 978-0-8218-4974-3
3. Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp. ISBN: 978-0-387-70913-0
4. Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. Measure theory and fine properties of functions. Revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015. xiv+299 pp. ISBN: 978-1-4822-4238-6 28-01
5. Ziemer, William P. Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Graduate Texts in Mathematics, 120. Springer-Verlag, New York, 1989. xvi+308 pp. ISBN: 0-387-97017-7
6. Friedlander, F. G. Introduction to the theory of distributions. Second edition. With additional material by M. Joshi. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. x+175 pp. ISBN: 0-521-64015-6; 0-521-64971-4
7. Rudin, Walter Functional analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991. xviii+424 pp. ISBN: 0-07-054236-8
8. A. N. Kolmogorov-S. V. Fomin, Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale, Ed. Mir, 1980.
9. Cannarsa Piermarco, D'Aprile Teresa, Introduzione alia teoria della misura
e all'analisi funzionale, Ed. Springer.

Obiettivi formativi e risultati di apprendimento attesi*:

Conoscenza e capacità di comprensione:
L'insegnamento si articola in 2 moduli.
Modulo A (6CFU) – Analisi Funzionale

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Il corso ha come obiettivo quello di rendere lo studente capace di assimilare le conoscenze acquisite e di saperle applicare in diversi ambiti dell’Analisi Matematica tra cui esempio le Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali e il Calcolo delle Variazioni.

Abilità comunicative (communication skills):
Preferendo una trattazione rigorosa, che di norma segue una presentazione intuitiva e descrittiva degli argomenti ed è seguita da diverse applicazioni ed esempi, il corso intende altresì favorire la capacità dello studente di esporre tematiche complesse e articolate in modo chiaro e rigoroso.

Capacità di apprendere (learnings skills)
La scelta degli argomenti e le modalità di presentazione degli stessi mirano a sviluppare nello studente le modalità autonome critiche di apprendimento necessarie per intraprendere gli avanzati studi successivi.

*“Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di”
- conoscere le nozioni di base dell'analisi funzionale
- conoscere le nozioni di base e i principali risultati della teoria delle distribuzioni di Schwarz
- conoscere i principali risultati sugli spazi di Sobolev
- saper interpretare in senso debole e distribuzionale problemi differenziali
- riconoscere il ruolo delle proprietà funzionali nello studio degli spazi di funzioni più frequentemente utilizzati
- aver la capacità di argomentare sulle connessioni tra le diverse teorie presentate al corso e sulle varie applicazioni.

Propedeuticità/Prerequisiti:

Si richiede la conoscenza degli argomenti di base di Analisi Matematica, tra cui in particolare: calcolo differenziale, successioni di funzioni, teoria della misura e spazi di Lebesgue.

Lezioni ed esercitazioni in aula

Modalità di accertamento del profitto:

La verifica e la valutazione del livello di conoscenza da parte dello studente avviene attraverso una prova orale con la possibile aggiunta di verifiche scritte o esoneri. La prova consisterà in una serie di domande sugli argomenti trattati al corso con il duplice scopo di verificare il livello di apprendimento degli argomenti presentati al corso e la capacità di applicare le nozioni e le tecniche apprese.
- l’unità di misura utilizzata sarà il voto in trentesimi

I docenti renderanno disponibili alcuni materiali di supporto alla didattica come dispense di alcune lezioni ed esercizi svolti sulla piattaforma di e-learning del corso.

Modulo A (48 ore di didattica frontale)
Gli argomenti trattati saranno: Il teorema di Hahn-Banach: forme analitiche e geometriche e applicazioni (circa 6 ore). Il teorema di Banach-Steinhaus e conseguenze: Teorema della mappa aperta e dell’inverso continuo (circa 8 ore). Topologie deboli. Spazi riflessivi, separabili ed uniformemente convessi
(circa 8 ore) con esempi. Spazi L^p (circa 14 ore): principali proprietà, separabilità, spazi duali, convoluzione e regolarizzazione.
spazi di Hilbert (circa 12 ore): principali proprietà, Teoremi di Stampacchia e Lax-Milgram, basi ortonormali.
Le lezioni saranno corredata dalla discussioni di esercizi.

Modulo B (48 ore di didattica frontale)
Gli argomenti trattati saranno: teoria delle Distribuzioni di Schwarz, funzioni e misure come distribuzioni, convoluzione e derivazione di distribuzioni (circa 12 ore). Derivate deboli e disuguaglianze di Sobolev (circa 16 ore). Applicazioni alle equazioni differenziali ed al calcolo delle variazioni. Principio del massimo (circa 10 ore). Trasformata di Fourier e applicazioni (circa 10 ore).

Italian

The course is divided in two parts.

Part A : Functional Analysis.
The formative objectives of Part A are related to the knowledge and understanding of the fundamental concepts and tools of Functional Analysis: the Hahn-Banach theorem and its main consequences in normed spaces; the uniform boundedness principle and the open mapping theorem.The properties of reflexive, separable and uniformly convex spaces.
Particular attention will be given to the study of functional properties of the function spaces already known by the students as the L^p spaces and the Hilbert spaces.

Part B: Distributions and Weakly differentiable functions.
The course aims to provide a good knowledge of a selection of topics that, in view of the many applications, turn out to be fundamental in the area of Mathematical Analysis. Our issues will cover the theory of Schwarz Distributions, the spaces of weakly differentiable functions with particular focus on the Sobolev spaces.

Textbooks:

1. Lieb, Elliott H.; Loss, Michael Analysis. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xxii+346 pp. ISBN: 0-8218-2783-9
2. Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii+749 pp. ISBN: 978-0-8218-4974-3
3. Brezis, Haim Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York, 2011. xiv+599 pp. ISBN: 978-0-387-70913-0
4. Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. Measure theory and fine properties of functions. Revised edition. Textbooks in Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 2015. xiv+299 pp. ISBN: 978-1-4822-4238-6 28-01
5. Ziemer, William P. Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Graduate Texts in Mathematics, 120. Springer-Verlag, New York, 1989. xvi+308 pp. ISBN: 0-387-97017-7
6. Friedlander, F. G. Introduction to the theory of distributions. Second edition. With additional material by M. Joshi. Cambridge University Press, Cambridge, 1998. x+175 pp. ISBN: 0-521-64015-6; 0-521-64971-4
7. Rudin, Walter Functional analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991. xviii+424 pp. ISBN: 0-07-054236-8
8. A. N. Kolmogorov-S. V. Fomin, Elementi di Teoria delle Funzioni e di Analisi Funzionale, Ed. Mir, 1980.
9. Cannarsa Piermarco, D'Aprile Teresa, Introduzione alia teoria della misura
e all'analisi funzionale, Ed. Springer.

Objectives*:
Knowledge and understanding:

The course is divided in two parts.

Part A : Functional Analysis.

Part B: Distributions and Weakly differentiable functions

Applying knowledge and understanding:
The aim is to make the student able to comprehend the acquired knowledge and to know how to apply it in different areas of the Mathematical Analysis including, for instance, Partial Differential Equations and Calculation of Variations.

Communication skills:
The course also aims to favor student's ability to expose complex and articulated subjects in a clear and rigorous manner. This will be obtained by preferring a rigorous discussion, which normally follows an intuitive and descriptive presentation of the topics and provided with various applications and examples.

- Learning skills
The choice of topics and the ways of presenting them aim at developing the student's learning skills necessary to undertake subsequent studies with a good degree of autonomy and understanding.

Prerequisites:
Knowledge of the fundaments of Mathematical Analysis is required. Among these: differential calculus, sequences of functions, measure theory and Lebesgue spaces

Classroom lessons and exercises

Methods of assessment:

Verification and assessment of the level of knowledge will be done through an oral test with possibly written tests during, or at the end of, the course. The test will consist of a series of questions on the topics discussed at the course with the dual purpose of verifying the level of learning of the subjects presented and the ability to apply the learned knowledge and techniques.
- the unit of measure used will be the vote over 30

Related teaching material will be available on the e-learning web platform associated with the course.

Part A: Functional Analysis
Hahn-Banach theorem, its analytic and geometric form and applications. The Banach-Steinhaus theorem and its consequences. Weak topologies, Reflexive, Separable and Uniformly convex spaces, L^p Spaces. Hilbert spaces.

Part B: Distributions and Weakly differentiable functions
Theory of Schwarz Distributions, Functions and Measures as distributions, convolution and derivation of a distribution, weak derivatives, Sobolev inequalities, applications to PDEs and Calculus of Variations . Maximum principles, Fourier Transform and applications.