ITALIANO

Sarà fornita innanzitutto una introduzione alla teoria delle rappresentazioni permutazionali dei gruppi (o azioni di gruppo) che sarà applicata allo studio dei sottogruppi di Sylow e alla dimostrazione del teorema di Sylow (con accenni al caso infinito). Successivamente, dopo aver trattato la teoria dei moduli e degli anelli semisemplici (con la dimostrazione del teorema di Artin-Weddeburn) si studieranno le prime nozioni della teoria classica delle rappresentazioni lineari dei gruppi finiti (essenzialmente) sul campo complesso.

- J.L. Alperin, Groups and Representations, Springer, 1995.
- M.J. Collins, Representations and characters of finite groups, Cambridge University Press, 1990.
- M. Curzio, M. Maj, P. Longobardi, Lezioni di Algebra, Liguori, 1994.
- A. Russo, F. Zullo, Rappresentazioni di Gruppi – Un’introduzione, Aracne, 2017.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):
L'insegnamento ha l’obiettivo introdurre lo studente al linguaggio, ai risultati fondamentali e ai metodi della teoria delle rappresentazioni permutazionali e della teoria delle rappresentazioni lineari.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Il corso ha fra i suoi obiettivi quello di rendere lo studente capace di utilizzare teorie algebriche diverse nello studio dei gruppi finiti.

Abilità comunicative (communication skills):
Il corso intende favorire la capacità dello studente di comunicare in modo chiaro e rigoroso quanto acquisito.

Non ci sono corsi propedeutici. E’ richiesta la conoscenza delle nozioni di base sulle strutture algebriche di gruppo, anello e campo.

L'insegnamento si articola in 64 ore (8 CFU) di didattica frontale.

E’ previsto il superamento di una prova orale sugli argomenti trattati a lezione con valutazione in trentesimi. Per accedere alla prova lo studente è tenuto ad esibire un documento di riconoscimento in corso di validità.

Per l’orario di ricevimento, si rinvia alla sezione didattica del sito web del docente. Dove sarà possibile reperire anche il materiale didattico distribuito durante il corso.
Sito docente: http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?&MATRICOLA=058567
Gli orari delle lezioni sono reperibili nel quadro orario delle lezioni alla pagina dedicata: http://www.matfis.unina2.it/didattica/orari-lezioni#matematica

PROGRAMMA

Gruppi abeliani – Somme dirette. Sottogruppo di torsione e sua decomposizione primaria. Struttura dei gruppi abeliani finiti (teorema di Schering-Kronecker). Sistemi di invarianti (teorema di Frobenius-Stickelberger). Gruppi abeliani liberi e divisibili. Gruppi abeliani Artiniani e Noetheriani.

Rappresentazioni - Rappresentazioni permutazionali: orbite, stabilizzanti, formule di Burnside e di Cauchy-Frobenius. Relazioni di coniugio in un gruppo: centralizzanti, normalizzanti, teorema N/C, automorfismi interni. Coniugio nei gruppi simmetrici e nel gruppo alterno. Sottogruppi di Sylow, teorema di Sylow e applicazioni. Cenni sulla teoria di Sylow nel caso infinito. Gruppo generale lineare. Rappresentazioni lineari. Rappresentazioni di permutazione. Richiami di teoria dei moduli. Moduli e anelli semisemplici. Teorema di Artin-Weddeburn. Algebra gruppo. Rappresentazioni equivalenti. Rappresentazioni riducibili, irriducibili e completamente riducibili. Lemma di Schur. Rappresentazioni irriducibili di un gruppo abeliano. Teorema di Maschke e applicazioni: struttura dell'algebra gruppo. Cenni sulla teoria dei caratteri. Applicazione al criterio di risolubilità di Burnside.

Italian

First of all, an introduction to the theory of permutational representations (or actions of a group) will be provided: it will be applied to the study of the Sylow subgroups and to the proof of the Sylow theorem (also in the infinite case).
Subsequently, after having treated the theory of semisimple modules and rings (with the proof of Atin-Weddeburn theorem), it will study the first aspects of the classical theory of finite group representations (essentially) over the complex field.

- J.L. Alperin, Groups and Representations, Springer, 1995.
- M.J. Collins, Representations and characters of finite groups, Cambridge University Press, 1990.
- M. Curzio, M. Maj, P. Longobardi, Lezioni di Algebra, Liguori, 1994.
- A. Russo, F. Zullo, Rappresentazioni di Gruppi – Un’introduzione, Aracne, 2017.

The aim of the course is to introduce the basic of the permutational and linear
representations of groups with applications to Sylow theory and soluble
groups. The objective is to make the student able to use different algebraic theories for the investigations on finite groups.

It is assumed the knowledge of the basic group theory and linear algebra.

Lectures in the classroom (64 hours - 8 CFU.)

Oral examination. To access the oral exam, the student is required to show a valid identity document.

Useful information can be found at the following web addresses:

http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?&MATRICOLA=058567

http://www.matfis.unina2.it/didattica/orari-lezioni#matematica

Program

The action of a group on a set. Orbits and stabilizers. Burnside and
Cauchy-Frobenius formulas. Sylow theory. Finitely generated and finitely
cogenerated abelian groups. Linear representations of groups.
Permutation representations. Equivalent representations. Modules:
homomorphisms, free modules and vector spaces. Semisimple modules
and rings. Weddeburn-Artin theorem. Group algebra. Classification of
representations. Schur lemma. Irreducible representations of abelian
groups. Maschke’s theorem and its applications. The structure of group
algebra. Introduction to characters of finite groups. The Burnside’s
solubility criterion.