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    Alessio RUSSO

    Insegnamento di TEORIA DEI GRUPPI

    Corso di laurea magistrale in MATEMATICA

    SSD: MAT/02

    CFU: 8,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 64,00

    Periodo di Erogazione: Secondo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    - Gruppi abeliani
    Struttura dei gruppi abeliani finiti (teorema di Schering-Kronecker). Sistemi di invarianti (teorema di Frobenius-Stickelberger). Gruppi abeliani liberi e divisibili. Gruppi abeliani Artiniani e Noetheriani.

    - Rappresentazioni permutazionali, orbite, stabilizzanti, formule di Burnside e di Cauchy-Frobenius. Sottogruppi di Sylow, teorema di Sylow e applicazioni. Cenni sulla teoria di Sylow nel caso infinito.

    - Rappresentazioni lineari
    Moduli e anelli semisemplici. Teorema di Artin-Weddeburn. Algebra gruppo. Rappresentazioni riducibili, irriducibili e completamente riducibili. Lemma di Schur. Rappresentazioni irriducibili di un gruppo abeliano. Teorema di Maschke e applicazioni: struttura dell'algebra gruppo. Cenni di teoria dei caratteri. Criterio di risolubilità di Burnside.

    Testi di riferimento

    • J.L. Alperin, Groups and Representations, Springer, 1995.
    • M.J. Collins, Representations and characters of finite groups, Cambridge University Press, 1990.
    • M. Curzio, M. Maj, P. Longobardi, Lezioni di Algebra, Liguori, 1994.
    • A. Russo, F. Zullo, Rappreesentazioni di Gruppi – Un’introduzione, Aracne, 2017

    Obiettivi formativi

    - Conoscenza e capacità di comprensione:
    Il corso intende fornire allo studente una introduzione elementare alla teoria delle rappresentazioni permutazionali dei gruppi e a quelle lineari dei gruppi finiti (in caratteristica 0). A tale scopo, saranno utilizzate tecniche di teoria dei moduli (in particolare la teoria dei moduli semisemplici e il teorema di Wedderburn) e di algebra lineare.

    - Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
    Il corso ha fra i suoi obiettivi quello di rendere lo studente capace di utilizzare teorie algebriche diverse nello studio dei gruppi finiti.

    - Abilità comunicative:
    Il corso intende favorire la capacità dello studente di comunicare in modo chiaro e rigoroso quanto acquisito.

    Prerequisiti

    Non ci sono corsi propedeutici. E’ richiesta la conoscenza delle nozioni di base sulle strutture algebriche di gruppo, anello e campo.

    Metodologie didattiche

    Lezioni in aula.

    Metodi di valutazione

    Superamento di una prova orale con valutazione in trentesimi.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    The action of a group on a set. Orbits and stabilizers. Burnside and Cauchy-Frobenius formulas. Sylow theory. Finitely generated and finitely cogenerated abelian groups. Linear representations of groups. Permutation representations. Equivalent representations. Modules: homomorphisms, free modules and vector spaces. Semisimple modules and rings. Weddeburn-Artin theorem. Group algebra. Classification of representations. Schur lemma. Irreducible representations of abelian groups. Maschke’s theorem and its applications. The structure of group algebra. Introduction to characters of finite groups. The Burnside’s solubility criterion.

    Textbook and course materials

    • J.L. Alperin, Groups and Representations, Springer, 1995.
    • M.J. Collins, Representations and characters of finite groups, Cambridge University Press, 1990.
    • M. Curzio, M. Maj, P. Longobardi, Lezioni di Algebra, Liguori, 1994.
    • A. Russo, F. Zullo, Rappreesentazioni di Gruppi – Un’introduzione, Aracne, 2017

    Course objectives

    The aim is to introduce the basic of permutational and linear representations of groups with applications to Sylow theory and soluble groups.

    Prerequisites

    It is assumed the knowledge of the basic group theory and linear algebra.

    Teaching methods

    Lectures in classroom.

    Evaluation methods

    Oral examinations.

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