ITALIANO

-Risoluzione numerica di sistemi lineari: metodi diretti e metodi iterativi
- Interpolazione mediante spline
- Quadratura
- Introduzione alla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie

1. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, 4a edizione, Springer, 2014.
2. V. Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill 1995.
3. J. W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): al termine del corso lo studente dovrà aver acquisito conoscenze riguardanti metodi numerici e software di base per la risoluzione di problemi matematici che si presentano in semplici applicazioni scientifiche.


Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione numerica di problemi matematici di base.

Abilità comunicative (communication skills): al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di
esporre in maniera chiara i risultati ottenuti applicando a semplici problemi matematici le conoscenze e gli strumenti acquisiti.

Calcolo Numerico I

Il corso è articolato in 72 ore suddivise in 48 ore di lezione frontali e 24 ore di laboratorio sotto la guida del docente.
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente suggerita.

L'accertamento del profitto consiste di norma in una prova di laboratorio, della durata di due ore, e in una prova orale. Per accedere alla prova orale bisogna aver superato la prova di laboratorio. Quest’ultima può essere sostituita da prove di laboratorio parziali, eseguite durante lo svolgimento del corso.
La prova di laboratorio consiste nell’uso e/o modifica di programmi sviluppati durante il corso e nell’analisi dei risultati prodotti su problemi test indicati nella prova per dimostrare comprensione dei metodi e capacità di effettuare sperimentazioni numeriche e interpretarne i risultati. La prova orale consiste nella trattazione e discussione di argomenti del programma svolto a lezione.

Risoluzione numerica di sistemi lineari
• Metodi diretti (matrici simmetriche e matrici simmetriche definite positive)
Fattorizzazione LDLT di matrici simmetriche: esistenza e unicità, algoritmo per il calcolo della fattorizzazione, cenni al pivoting, complessità computazionale. Fattorizzazione di Cholesky di matrici simmetriche definite positive: esistenza e unicità, algoritmo per il calcolo della fattorizzazione, complessità computazionale, cenni alla stabilità. Risoluzione di sistemi lineari utilizzando le fattorizzazioni suddette.
• Metodi iterativi (matrici generiche e matrici simmetriche definite positive)
Matrici sparse, grado di sparsità, memorizzazione di matrici sparse. Metodi lineari stazionari basati sullo splitting della matrice, metodi di rilassamento, metodi di Richardson. Consistenza, convergenza e complessità computazionale di tali metodi. Metodi non stazionari per la risoluzione di sistemi lineari con matrice simmetrica definita positiva: metodi del gradiente e delle direzioni coniugate. Criteri di arresto.

Interpolazione mediante spline
Funzioni spline: definizione e rappresentazione. Interpolazione di Lagrange mediante spline. Spline naturali. Esistenza e unicità della spline naturale cubica interpolante, secondo Lagrange, un insieme di punti. Algoritmo per la costruzione di tale spline. Accuratezza e complessità computazionale di tale algoritmo.

Quadratura
Formule di quadratura esatte per polinomi algebrici. Formule di Newton-Cotes, semplici e composite. Convergenza delle formule suddette e analisi dell’errore mediante il teorema di Peano. Stime calcolabili dell’errore e criteri di arresto. Complessità computazionale degli algoritmi di quadratura e strategie adattative. Integratori automatici adattativi, basati su strategie locali e globali. Formule di Gauss.

Introduzione alla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie
Richiami sui problemi di Cauchy per le equazioni differenziali ordinarie. Metodo di Eulero in avanti e metodo di Eulero all’indietro: consistenza, zero-stabilità, convergenza e teorema di Dahlquist; stabilità assoluta, equazione test e regioni di assoluta stabilità; errore di roundoff.

Sono previste, come parte integrante del programma, attività di laboratorio volte all'implementazione di metodi trattati durante il corso o all'uso di routine che implementano tali metodi, e all'analisi dei risultati con essi ottenuti. Tali attività sono svolte sia utilizzando il linguaggio C in ambiente Linux, sia utilizzando l'ambiente Matlab

Italian

- Numerical linear algebra
-Spline interpolation
-Numerical integration
-Numerical Solution of ordinary differential equations

1. A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, P. Gervasio, Matematica Numerica, 4a edizione, Springer, 2014.
2. V. Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill 1995.
3. J. W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997.

- Knowledge and understanding: students are expected to learn methods and tools of numerical mathematics for the solution of linear systems, spline interpolation, numerical integration and numerical solution of ODE

- Applying knowledge and understanding: students are expected to have the ability of applying basic numerical algorithms for the solution of linear systems, nonlinear equations, and interpolation and data fitting problems.

- Communication skills: students are expected to use a technical and scientific language suited to numerical computing.

Numerical analysis I

The course consists of lectures (48 hours), labs (24 hours).

The exam consists of two parts: a two-hour computer-based test and an oral assessment. Students undergo the oral assessment if the pass the computer-based test. The final computer-based test can be substituted by partial computer-based tests performed during the development of the course.

- Numerical linear algebra:
direct methods: LDLT, Cholesky factorization
iterative methoids: Jacobi, Gauss Saidel and Richardson. Gradient method
-Spline interpolation: spline cubic interpolation
-Numerical integration: Newton-Cotes and Gauss formulas
-Numerical Solution of ordinary differential equations