ITALIANO

Sarà fornita una prima introduzione alla teoria delle varietà algebriche affini su campo algebricamente chiuso, focalizzando poi l’attenzione sulle varietà 1-dimensionali piane (curve), nel caso affine e nel caso proiettivo.

Testi Consigliati
W. Fulton: Algebraic Curves, an introduction to Algebraic Geometry, disponibile in http://www.math.lsa.umich.edu/∼wfulton/.
R.J. Walker: Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1950.
A. Seidenberg: Elements of the theory of algebraic curves, Addison-Wesley Series Mathematics, (1968).


ALTRI TESTI
D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, New-York, 1996.
M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj: Lezioni di Algebra, Liguori Editore , 1994.
J. Hirschfeld, G. Korchmaros e F. Torres: Algebraic Curves over a Finite Field, Princeton University Press, Priceton e Oxford, 2008

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding):
L'insegnamento ha l’obiettivo introdurre lo studente al linguaggio, ai risultati fondamentali e ai metodi della teoria delle varietà e delle curve algebriche piane.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding):
Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà
- dimostrare di avere familiarità con esempi classici di varietà e curve algebriche, riconoscendo esempi notevoli e ricavando in maniera indipendente proprietà generali.

Abilità comunicative (communication skills):
Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà
-- essere in grado di enunciare e dimostrare in maniera rigorosa risultati di base nell’ambito della teoria delle varietà algebriche affini e nell’ambito della teoria delle curve algebriche piane.

Autonomia di giudizio (making judgements)
Lo studente è stimolato ad apprendere in maniera critica ed autonoma attraverso gli approfondimenti seminariali proposti.

Elementi di teoria degli anelli e di teoria dei campi, nozioni fondamentali di geometria affine e proiettiva. È consigliabile aver sostenuto o almeno seguito l’insegnamento della laurea Magistrale Algebra Commutativa.

L'insegnamento si articola in 64 ore (8 CFU) di didattica frontale. Nell’ultima parte del corso verranno proposti agli studenti degli approfondimenti che saranno discussi in aula in forma seminariale.

La prova orale consiste in:
-domande relative alla teoria presentata in aula;
- attività seminariali tenute dallo studente su argomenti di approfondimento presentati durante il corso.
Il voto finale risulterà pari alla media ponderata delle due votazioni conseguite e il voto sarà espresso in trentesimi.

Per l’orario di ricevimento, si rinvia alla sezione didattica del sito web del docente. Per il materiale didattico distribuito durante il corso e il programma d’esame dettagliato si rinvia al sito e-learning di Ateneo, dove sarà attivato il corso “Geometria Algebrica” a cui gli studenti iscritti avranno accesso con le credenziali di Ateneo.
Sito e-learning unicampania: https://elearning.unicampania.it/
Sito docente: http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti/69-polverino-olga
Gli orari delle lezioni sono reperibili nel quadro orario delle lezioni alla pagina dedicata: http://www.matfis.unina2.it/didattica/orari-lezioni#matematica

PROGRAMMA*
Premesse e richiami di teoria degli anelli: anelli noetheriani e teorema della base di Hilbert, estensioni trascendenti e grado di trascendenza.
Elementi di teoria delle Varietà Algebriche Affini: topologia di Zariski, teorema degli zeri di Hilbert, irriducibilità e decomposizione in componenti irriducibili, dimensione di una varietà. Varietà algebriche affini irriducibili del piano.
Curve algebriche piane
Curve algebriche piane, affini e proiettive. Singolarità. Intersezione di curve e Teoremi di Bezout. Serie lineari su una curva. Curva razionali. Flessi e formule di Plücker. Teoremi di classificazione di cubiche.

Approfondimenti e attività seminariali: nelle ultime lezioni del corso saranno presentati agli studenti argomenti di approfondimento che saranno oggetto di attività seminariali.

*Il programma d’esame dettagliato sarà disponibile a fine corso sul sito e-learning.

Italian

The goal of this course is to give a basic knowledge of foundations of algebraic geometry with particular regard to the case of affine varieties and planar algebraic curves.

Testi Consigliati
W. Fulton: Algebraic Curves, an introduction to Algebraic Geometry, disponibile in http://www.math.lsa.umich.edu/∼wfulton/.
R.J. Walker: Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1950.
A. Seidenberg: Elements of the theory of algebraic curves, Addison-Wesley Series Mathematics, (1968).


Textbooks
W. Fulton: Algebraic Curves, an introduction to Algebraic Geometry, disponibile in http://www.math.lsa.umich.edu/∼wfulton/.
R.J. Walker: Algebraic Curves, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1950.
A. Seidenberg: Elements of the theory of algebraic curves, Addison-Wesley Series Mathematics, (1968).

More Readings
--D. Cox, J. Little, D. O’Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer-Verlag, New-York, 1996.
--M. Curzio, P. Longobardi, M. Maj: Lezioni di Algebra, Liguori Editore , 1994.
--J. Hirschfeld, G. Korchmaros e F. Torres: Algebraic Curves over a Finite Field, Princeton University Press, Priceton e Oxford, 2008

A first course in Algebra and a first course in Analysis, the first two courses in Geometry.

Teaching methods:
64 hours of lectures

An oral final exam on the topics in the course program.

Teaching materials:

https://elearning.unicampania.it/
Office Hours:
http://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti/69-polverino-olga
Teaching timetables:
http://www.matfis.unina2.it/didattica/orari-lezioni#matematica

Algebraic Preliminaries
Rings, ideals, Noetherian rings, polynomial rings, the Hilbert base theorem.

Algebraic affine varieties
Varieties and ideals. Irreducible varieties and prime ideals. Decomposition of a variety into Irreducibles. Hilbert’s Nullstellensatz. Radical Ideals and Ideal-variety Correspondence. Irreducible varieties in the planar case.


Plane Algebraic curves
Affine and projective algebraic curves and their equations. Tangents and singularities. Intersection numbers. Bezout Theorem. Inflection Points and Hessian curve. Cubic curves.