ITALIANO

Elementi di topologia generale e di topologia algebrica

Testi di riferimento:
LIBRO DI TESTO
- Edoardo Sernesi, GEOMETRIA 2, Bollati Boringhieri, 1994.

ALTRO MATERIALE DIDATTICO
- F. Mazzocca, APPUNTI DEL CORSO DI GEOMETRIA 3, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università della Campania “L.Vanvitelli”. http://www.francesco.mazzocca.name/Geometria3.pdf
- Edoardo Sernesi, CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICIE TOPOLOGICHE, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/GE30809/superfici.pdf .
ESERCIZI
- Seymour Lipschutz, TOPOLOGIA, McGraw-Hill, 1994.

Conoscenza e capacità di comprensione:
Il corso si propone di introdurre lo studente al linguaggio, ai risultati fondamentali e ai metodi di base della topologia generale e della topologia algebrica. Sono anche proposti esempi di applicazioni dei metodi topologici ad altri campi della matematica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Il corso si propone di rendere lo studente capace di assimilare le conoscenze acquisite (risultati e metodi topologici) e di saperle utilizzare per studiare e risolvere problemi teorici e concreti nell’ ambito della topologia e, se richiesto, in altri settori della matematica.

Propedeuticità: Algebra 1, Analisi Matematica 1, Geometria 2

Sono previste 48 ore di lezioni frontali e 24 ore di esercitazioni

L'esame prevede una prova orale con domande relative alla teoria e agli esercizi presentati in aula durante le esercitazioni.

Per l’orario di ricevimento, si rinvia alla sezione didattica del sito web del docente. Per il materiale didattico distribuito durante il corso e il programma d’esame dettagliato si rinvia al sito e-learning di Ateneo, dove sarà attivato il corso “Geometria 3” a cui gli studenti iscritti avranno accesso con le credenziali di Ateneo. Gli esercizi relativi al corso sono depositati nella Sezione Materiale Didattico nella cartella “Esercizi”.
Sito e-learning unicampania: https://weblearning.unicampania.it
Sito docente: https://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058270
Gli orari delle lezioni sono reperibili nel quadro orario delle lezioni alla pagina dedicata: http://www.matfis.unicampania.it/didattica/orari-lezioni#matematica

ELEMENTI DI TOPOLOGIA GENERALE.
Definizione di spazio topologico. Esempi notevoli di spazi topologici. Insiemi chiusi. Topologia di Zariski di Cn. Interno di un insieme. Intorni. Sistemi fondamentali di intorni. Basi. Punti di aderenza e di accumulazione. Derivato di un insieme. Insiemi perfetti. Insiemi densi.
Frontiera di un insieme. Funzioni continue in un punto. Funzioni continue. Omeomorfismi.
Sottospazi di uno spazio topologico. Prodotto di spazi topologici. Spazi topologici quozienti. Assiomi di separazione e di numerabilità. Spazi separabili. Spazi metrici. Esempi di spazi metrici. Topologia indotta da una metrica. Spazi metrizzabili. Assiomi di numerabilità e di separazione negli spazi metrici. Sottospazi di uno spazio metrico. Successioni convergenti. Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi. Spazi topologici connessi. Connessione e connessione per poligonali in connessi in Rn. Spazi connessi e applicazioni continue. Componenti connesse. Spazi topologici compatti. Spazi compatti e applicazioni continue. Compattezza in R^n.

ELEMENTI DI TOPOLOGIA ALGEBRICA.

Archi e lacci in uno spazio topologico. Connessione per archi. Componenti connesse, il funtore “componenti connesse”. Lemma di incollamento. Concatenazione di archi e lacci. Connessione per archi. Sottospazi connessi e sottospazi stellati di Rn. Componenti connesse per archi. Omotopia (libera) tra mappe di uno spazio topologico in un altro. Omotopia lineare e insiemi convessi. Omotopia tra mappe costanti. L’omotopia sull’insieme delle mappe tra due spazi topologici è di equivalenza. Equivalenze omotopiche e spazi omotopicamente equivalenti. Spazi contraibili e esempi notevoli. Omotopia di mappe tra coppie di spazi. Omotopia tra lacci. Gruppo fondamentale di uno spazio topologico puntato. Indipendenza dal punto base del gruppo fondamentale per gli spazi connessi per archi. Funtorialità del gruppo fondamentale.
Gruppo fondamentale ed equivalenze omotopiche. Spazi semplicemente connessi. Esempi notevoli di spazi semplicemente connessi. Gruppo fondamentale della sfera n- dimensionale, n>1. Gruppo fondamentale della circonferenza. Teorema dell’invarianza della dimensione per R2. Teorema del punto fisso di Brouwer. Calcolo del gruppo fondamentale di sottospazi notevoli di Rn. Utilizzo del gruppo fondamentale per provare che due spazi non sono omeomorfi. Teorema fondamentale dell’algebra.

Il programma ancora più dettagliato sarà disponibile a fine corso,

Italian

Introduction to general topology and to algebraic topology.

TEXTBOOK
- Edoardo Sernesi, GEOMETRIA 2, Bollati Boringhieri, 1994.

TEACHING MATERIALS
- F.Mazzocca, SLIDES OF THE COURSE, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università della Campania “L.Vanvitelli”. http://www.francesco.mazzocca.name/Geometria3.pdf
- Edoardo Sernesi, CLASSIFICAZIONE DELLE SUPERFICIE TOPOLOGICHE, Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre http://www.mat.uniroma3.it/users/sernesi/GE30809/superfici.pdf .

MORE READINGS
- Seymour Lipschutz, TOPOLOGIA, McGraw-Hill, 1994.

- Knowledge and understanding: students are expected to know basic general and algebraic topology

-Applying knowledge and understanding: students should be able to use basic topological methods also in other areas of mathematics

- Communication skills: students should be able to illustrate the methods and tools acquired during the course and to communicate the results obtained with them, using a suitable technical and scientific language.

Mathematical Analysis 1, Algebra 1, Geometry 2.

Teaching methods:
48 hours of lectures and 24 hours

An oral final exam on the topics in the course program.

Teaching materials:

https://weblearning.unicampania.it
Office Hours:
https://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058270
Teaching timetables:
http://www.matfis.unicampania.it/didattica/orari-lezioni#matematica

Topological spaces. Subspaces. Generating topologies. Continuity. Homeomorphisms. Convergence. Separation. Connectedness. Compact spaces. Product of topological spaces. Quotient spaces. Compact surfaces and their classification.
Categories and functors. Arcwise connectedness. Homotopy. The fundamental group. The fundamental group of the circle and some consequences. The fundamental theorem of algebra.

*The detailed program will be available at the end of the course