ITALIANO

Programma sintetico -Generalità su gruppi, anelli e campi. - Vettori numerici e matrici su un campo K. - Sistemi di equazioni lineari. - Spazi vettoriali su un campo K. - Applicazioni lineari - Diagonalizzazione e diagonalizzazione ortogonale -Spazi vettoriali euclidei - Elementi di Geometria Analitica nel piano euclideo E2 e nello spazio euclideo E3.

Testi di riferimento: TEORIA - M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli: Geometria, Esculapio, Progetto Leonardo. - N. Melone: Introduzione ai metodi di Algebra lineare, CUEN. ESERCIZI - A. Barani, L. Grasselli, C. Landi: Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e svolti. Esculapio, Progetto Leonardo. - G. Campanella: Esercizi di Algebra lineare e Geometria, volumi 1,2,3,4,5,8, Aracne.

Conoscenza e capacità di comprensione (knowledge and understanding): Il corso intende fornire una buona conoscenza dei metodi del calcolo matriciale, dell’algebra lineare e della geometria analitica in dimensione 2 e in dimensione 3. Inoltre, ha tra i suoi obiettivi lo sviluppo del linguaggio matematico astratto, lo sviluppo delle capacità logiche-deduttive e l’apprendimento di tecniche dimostrative e di calcolo. Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding): Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà aver acquisito i concetti fondamentali dell’algebra lineare e della geometria analitica; dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e rigoroso i contenuti dell’insegnamento; dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi standard di algebra lineare e geometria analitica; sarà in grado di applicare le conoscenze apprese alla risoluzione di esercizi o problemi che richiedono una piccola rielaborazione delle tecniche dimostrative e di calcolo già acquisite.

Prerequisiti: conoscenze di Matematica di base acquisite nel percorso formativo della scuola secondaria superiore. Propedeuticità: nessuna

Sono previste 72 ore di lezioni frontali in cui il docente spiega gli argomenti trattati servendosi della lavagna e 36 ore di esercitazioni numeriche.

L'esame prevede una prova scritta e una prova orale, entrambe obbligatorie. La prova scritta, della durata di circa 3 ore, consiste nella risoluzione di esercizi di algebra lineare e geometria analitica e di domande di teoria. Non è possibile consultare testi o appunti durante lo svolgimento della prova, è consentito l’utilizzo della sola calcolatrice scientifica. La prova scritta ha un peso del 33% sulla prova finale. Per accedere alla prova orale bisogna aver superato la prova scritta. La prova orale consiste in domande relative al programma svolto a lezione. Lo studente ha la possibilità di sostituire la prova scritta con più prove parziali in itinere, che si tengono nel corso dei due semestri e/o durante la pausa invernale nel mese di gennaio.

Per l’orario di ricevimento, si rinvia alla sezione didattica del sito web del docente. Per il materiale didattico distribuito durante il corso e il programma d’esame dettagliato si rinvia al sito e-learning di Ateneo, dove sarà attivato il corso “Geometria 1” 25-26 a cui gli studenti iscritti avranno accesso con le credenziali di Ateneo. Gli esercizi relativi al corso sono depositati nella cartella “Esercizi”. Nella stessa sezione saranno reperibili nella cartella “Test di Autovalutazione” test di preparazione di prove d’esame o di prove parziali. Sito e-learning unicampania: https://weblearning.unicampania.it/my/ Sito docente: https://www.matfis.unicampania.it/dipartimento/docenti?MATRICOLA=058270 Sono previste attività di tutorato durante i semestri, gli orari delle lezioni e delle attività di tutorato sono reperibili nel quadro orario delle lezioni alla pagina dedicata: http://www.matfis.unicampania.it/didattica/orari-lezioni#matematica

• Insiemi e relazioni e generalità su gruppi anelli e campi Teoria degli insiemi- Relazioni tra insiemi. Definizione di funzione, immagine di una funzione, funzioni iniettive e suriettive, funzioni biiettive, invertibilità di una funzione biiettiva. Composta di due funzioni. Proprietà delle relazioni binarie. Relazioni di ordine. Relazioni di equivalenza: classi di equivalenza e proprietà. Restrizioni di una funzione. Definizione di gruppo, anello, corpo e campo. Anello dei polinomi in una indeterminata, radici e fattorizzazione. Il gruppo simmetrico: permutazioni pari e dispari. • Vettori numerici, matrici su un campo K e sistemi di equazioni lineari. Operazioni tra vettori numerici e struttura di spazio vettoriale di Kn. Prodotto scalare numerico e sue proprietà. Operazioni tra matrici ad elementi in K: struttura di spazio vettoriale sull’insieme Km,n delle matrici di tipo (m,n) e di anello sull’insieme Kn,n delle matrici quadrate d’ordine n. Matrici simmetriche ed antisimmetriche. Matrici triangolari, diagonali e scalari. Operazioni elementari sulle righe di una matrice e matrici elementari, algoritmo di riduzione a gradini. Determinante di una matrice quadrata, proprietà elementari e teoremi di Laplace e Binet. Algoritmo di riduzione a forma triangolare per il calcolo del determinante. Matrici invertibili e metodi per determinare l’inversa. Il gruppo generale GL(n,K) delle matrici quadrate invertibili. Rango di una matrice e teorema degli orlati. Metodi per calcolare il rango. Definizione di equazione lineare e di sistema di equazioni lineari nelle indeterminate x1, x2,., xn a coefficienti in un campo K. Sistemi compatibili ed incompatibili: teorema di Rouchè-Capelli. Algoritmo di Gauss-Jordan per la risoluzione di un sistema lineare e “numero” di soluzioni di un sistema lineare. Sistemi di Cramer e metodo di Cramer per la risoluzione di un sistema lineare. • Spazi vettoriali su un campo K. Definizione di spazio vettoriale e proprietà elementari. Esempi. Sottospazi vettoriali e operazioni tra essi: intersezione, sottospazio generato. Somma e somma diretta di una famiglia di sottospazi. Dipendenza e indipendenza lineare. Spazi vettoriali di dimensione finita: sistemi di generatori, basi e riferimenti, dimensione. Sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita e loro dimensione. Relazione di Grassmann. Dimensione della somma diretta di un numero finito di sottospazi vettoriali e caratterizzazione della somma diretta. Proprietà della coordinazione, equazione dei sottospazi in un riferimento fissato. Matrici cambiamento di riferimento. Sistemi lineari omogenei. • Applicazioni lineari. Definizione di applicazione lineare: nucleo e immagine, nullità e rango e proprietà. Proprietà caratteristiche degli isomorfismi. Isomorfismi coordinati. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici e matrici. Teorema dimensionale. Teorema di esistenza e unicità di applicazioni lineari. Anello degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, gruppo generale lineare di uno spazio vettoriale. Matrice associata ad un’applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita in due fissati riferimenti: equazioni di un’applicazione lineare, equazioni del nucleo, dimensione dell’immagine come rango di una matrice associata. Matrici rappresentative della stessa applicazione lineare in riferimenti diversi. Matrici simili. • Diagonalizzazione. Endomorfismi e matrici quadrate diagonalizzabili. Autovettori, autovalori e autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Polinomio caratteristico, teorema di caratterizzazione degli endomorfismi (e matrici) diagonalizzabili, ricerca di una base di autovettori. • Spazi vettoriali euclidei: prodotti scalari euclidei, lunghezze, angoli, ortogonalità, riferimenti ortonormali e algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio: ricerca e proprietà. • Diagonalizzazione ortogonale. Endomorfismi simmetrici di spazi vettoriali euclidei, autovalori e autospazi di endomorfismi simmetrici. Endomorfismi ortogonalmente diagonalizzabili. Matrici reali ortogonalmente diagonalizzabili, caratterizzazione come matrici simmetriche. • Elementi di Geometria analitica. Lo spazio vettoriale euclideo dei vettori liberi in dimensione 2 e 3 (L2 e L3): definizione e prime proprietà, prodotto scalare tra vettori liberi, prodotto vettoriale in dimensione 3, basi ortonormali e componenti di un vettore. Coordinazione del piano e dello spazio euclideo (E2 e E3) e corrispondenza tra lo spazio vettoriale dei vettori liberi e lo spazio vettoriale numerico reale. I sottospazi affini di E2 ed E3: rette e piani. Distanza, angoli, parallelismo e ortogonalità. Riferimento cartesiano e coordinate. Rappresentazione analitica di rette nel piano e di rette e piani nello spazio. Formule di geometria analitica nel piano e nello spazio. Rette complanari e sghembe e condizioni analitiche. Distanza di un punto da una retta e da un piano. Distanza tra rette. Proiezione ortogonale di un punto su una retta e su un piano. Isometrie: traslazioni, simmetrie ortogonali, rotazioni (in E^2).

Italian

SYLLABUS • Generalities on groups, rings and fields • Numerical vectors and matrices • Systems of linear equations • Vector Spaces over a field • Linear maps • Euclidean vector spaces • Diagonalization. • Two and three-dimensional analytic geometry --Orthogonal Diagonalization

Textbooks: - A. Barani, L. Grasselli, C. Landi: Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e svolti. Esculapio, Progetto Leonardo. - G. Campanella: Esercizi di Algebra lineare e Geometria, volumi 1,2,3,4,5,8, Aracne. - M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli: Geometria, Esculapio, Progetto Leonardo. - N. Melone: Introduzione ai metodi di Algebra lineare, CUEN.

Objectives: - Knowledge and understanding: The course intends to provide an introduction to the fundamental results and methods of: matrix theory, linear algebra, two and three-dimensional analytic geometry. - Applying knowledge and understanding: Students will be able to acquire a good knowledge and mastery of linear algebra and analytic geometry.

Prerequisites: basic mathematics knowledge acquired in high school

Teaching methods: 72 hours of lectures 36 hours of classes

Methods of assessment: written and oral examinations

Teaching materials: https://weblearning.unicampania.it

The detailed program will be available at the end of the course.