ITALIANO

Nozioni fondamentali dell'algebra commutativa come anelli commutativi unitari, anelli locali, anelli noetheriani e artiniani, anelli di Dedekind. Moduli su anello commutativo unitario. Spettro di un anello. Teorema degli zeri.

Atiyah, Michael Francis; Mac Donald, Ian Grant, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co.,1969

Sharp R.Y., Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, 2000

Lo studente dovrà aver acquisito le nozioni fondamentali dell’algebra commutativa e dovrà essere in grado di ricostruire dimostrazioni dei risultati studiati ed applicare le tecniche e metodologie appropriate per la risoluzione di esercizi.

Nozioni di base di algebra, come gruppi, anelli e campi

Lezioni frontali. Particolare attenzione sarà rivolta alla risoluzione di esercizi che saranno presentate dagli studenti a lezione.

Esame orale durante il quale sarà richiesto anche di risolvere esercizi al fine di valutare il grado di maturità raggiunto nell’apprendimento di tecniche e nozioni illustrate nelle lezioni e la padronanza e capacità di utilizzarle nelle risoluzioni di problemi.

Richiami di base di teoria degli anelli - Prodotti diretti di anelli. Ideali massimali, primi, irriducibili e primari. Operazioni su ideali (somma, intersezione, prodotto). Il teorema cinese dei resti per anelli. Radicale di un ideale, nilradicale, radicale di Jacobson e ideali quozienti. Estensione e contrazione di ideali. Anelli locali, anelli di frazioni e localizzazioni. Anelli di valutazioni. Condizioni su catene ascendenti e discendenti e proprietà equivalenti. Anelli noetheriani e artiniani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione primaria in anelli noetheriani. Dimensione di Krull. Moduli, sottomoduli e loro operazioni. Annullatore di un modulo. Moduli fedeli. Somme dirette e prodotti diretti di moduli. Moduli su anelli noetheriani. Moduli finitamente generati, moduli liberi. Lemma del serpente. Lo spettro di una anello commutativo unitario e la topologia di Zariski. Proprietà topologiche dello spettro. Elementi interi, anelli integralmente chiusi. Teorema di normalizzazione di Noether. Estensioni intere. Anelli di Dedekind. Il Teorema degli zeri di Hilbert.

Italian

Fundamental notions of commutative algebra: commutative rings, local rings, Noetherian and Artinian rings. Dedekind domains. Modules over a commutative untila ring. Spectrum of a ring. Hilbert Nullstellensatz.

Atiyah, Michael Francis; Mac Donald, Ian Grant, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co.,1969

Sharp R.Y., Steps in Commutative Algebra, Cambridge University Press, 2000

Students will acquire the basic knowledges in commutative algebra, they will be able to reconstruct proofs, and apply notions and techniques presented in the classes in the solution of exercises.

Basic notions on groups, rings and fields

Lectures in class, and discussions and solutions of exercises which will be presented by the students during the classes.

The students will be required to take an oral exam during which they will be asked to reconstruct proofs of the main results covered in the classes, and also to solve exercises in order to assess the level of proficiency achieved in learning the techniques and concepts covered in the lessons, as well as their ability to apply them in problem-solving.

Basic ring theory. Direct products of rings. Ideals: prime, maximal, irreducible and primary. Operations on ideals: sum, product, intersection and quotient. Chinese remainder theorem for rings. Radical of an ideal, nilradical, Jacobson radical. Extensions and contractions of ideals. Local rings, localizations. Valuations rings. Ascending and descending chain conditions. Noetherian and Artinian rings. Hilbert’s Basis Theorem. Primary decomposition in Noetherian rings. Krull dimension. Modules over a commutative unital ring, submodules and operation on submodules. Annihilator of a module. Faithful module. Direct sum and direct product of modules. Finitely generated modules, free module, rank of module. Noetherian and Artinian modules. Snake lemma. Integral extension of a ring, integrally closed rings. Dedekind domains. Noether normalization theorem. Spectrum of a commutative ring and the Zariski topology, Hilbert Nullstellensatz.