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    Paola D'AQUINO

    Insegnamento di ALGEBRA COMMUTATIVA

    Corso di laurea magistrale in MATEMATICA

    SSD: MAT/02

    CFU: 8,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 64,00

    Periodo di Erogazione: Primo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    Introduzione all’algebra commutativa e in particolare alla teoria degli anelli commutativi unitari e ai moduli.

    Testi di riferimento

    Atiyah M e Macdonald I.G., Introduction to Commutative algebra, Addison-Wesley Publishing co., 1969
    Sharp R.Y, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press, 2000

    Obiettivi formativi

    Lo studente dovrà conoscere ed essere in grado di applicare i principali risultati dell'algebra commutativa.

    Prerequisiti

    Nozioni di base di algebra come gruppi anelli e campi.

    Metodologie didattiche

    Lezioni frontali. Saranno inoltre assegnati esercizi che lo studente dovrà risolvere e verranno discussi durante le lezioni.

    Metodi di valutazione

    Esame scritto e orale

    Programma del corso

    Richiami di base di teoria degli anelli - Prodotti diretti di anelli. Ideali massimali, primi, irriducibili e primari. Operazioni su ideali (somma, intersezione, prodotto). Il teorema cinese dei resti per anelli. Radicale di un ideale, nilradicale, radicale di Jacobson e ideali quozienti. Estensione e contrazione di ideali. Anelli locali, anelli di frazioni e localizzazioni. Moduli, sottomoduli e loro operazioni (somma, intersezione). Annullatore di un modulo. Moduli fedeli. Somme dirette e prodotti diretti di moduli. Condizione della catena ascendente e proprietà equivalenti. Condizione della catena discendente e proprietà equivalente. Anelli e moduli noetheriani e artiniani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione primaria in anelli noetheriani. Dimensione di Krull. Anelli di valutazioni e anelli di Dedekind. Dipendenza intera, estensioni intere di anelli e chiusura intera di un anello. Moduli e algebre su anelli noetheriani. Moduli finitamente generati, moduli liberi. Teorema di normalizzazione di Noether. La topologia di Zariski sullo spettro primo Spec(R). Il Teorema degli zeri di Hilbert. Lemma di Nakayama e applicazione agli anelli noetheriani. Ogni argomento sarà accompagnato da esercizi che sono parte integrante del corso.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    Introduction to commutative algebra, and in particular to commutative rings and modules.

    Textbook and course materials

    Atiyah M e Macdonald I.G., Introduction to Commutative algebra, Addison-Wesley Publishing co., 1969
    Sharp R.Y, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press, 2000

    Course objectives

    Students will learn the fundamental notions and results in commutative algebra, and they will be able to apply them.

    Prerequisites

    Basic notions in group theory, ring theory and field theory.

    Teaching methods

    Lectures will be delivered in class. Students will have exercises to solve and the solutions will be discussed in class.

    Evaluation methods

    Written and oral exams

    Course Syllabus

    Brief overview of ring theory. Direct sum of rings. Prime, maximal, irreducible and primary ideals. Operations on ideals (sum, intersection, product) Chinese remainder theorem for commutative rings. Radical of an ideal. Nilradical and Jacobson radical. Quotient ideal. Extensions and contractions of ideals. Local rings and localizations. Modules, submodules and operations on modules. Annihilator of a module. Modules and algebras on noetherian rings. Ascending and descending chain conditions and their equivalent forms. Noetherian and Artinian rings and modules. Hilber Basis Theorem. Primary decomposition of a noetherian ring. Krull dimension. Valuation rings and Dedekind rings. Integral extensions and integral closure of a ring. Modules and algebras over a Noetherian ring. Finitely generated modules. Free modules. Noether normalization theorem. Spectrum of prime ideals and Zariski topology. Hilbert Nullstellensatz. Nakayama lemma and applications to Noetherian rings. Every topic includes exercises.

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