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    Paola D'AQUINO

    Insegnamento di TEORIA DI GALOIS

    Corso di laurea magistrale in MATEMATICA

    SSD: MAT/02

    CFU: 8,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 64,00

    Periodo di Erogazione: Secondo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    Introduzione alla teoria di Galois delle equazioni e applicazioni.

    Testi di riferimento

    Ian Stewart, “Galois Theory”, Chapman Hall/Crc Mathematics, New York, 2009.
    J. Milne, Fields and Galois Theory

    Obiettivi formativi

    Lo studente dovrà conoscere i principali risultati della teoria di Galois ed essere in grado di applicarli.

    Prerequisiti

    Nozioni di base su gruppi, anelli e campi.

    Metodologie didattiche

    Lezioni frontali. Saranno inoltre assegnati esercizi che lo studente dovrà risolvere e verranno discussi durante le lezioni.

    Metodi di valutazione

    Prova scritta e orale

    Programma del corso

    Estensioni di campi. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico. Estensioni algebriche e trascendenti. Teorema di Kroneker. Campo di spezzamento di un polinomio. Esistenza e unicità del campo di spezzamento. Radici multiple. Isomorfismi di campi. Teorema di prolungamento. Gruppo di Galois di un’estensione e di un polinomio. Estensioni normali e separabili. Chiusura normale. Campi perfetti Estensioni di Galois. Teorema fondamentale della teoria di Galois. Campi algebricamente chiusi: definizione e caratterizzazioni. Chiusura algebrica di un campo. Teorema di esistenza e di unicità (a meno di isomorfismi) della chiusura algebrica di un campo. Teorema fondamentale dell’algebra. Teorema dell’elemento primitivo. Il problema della ciclotomia. Estensioni radicali. Equazioni risolubili per radicali. Estensioni cicliche ed abeliane. Risolvente di Lagrange. Gruppi risolubili. Teorema di Galois. Polinomi simmetrici. Teorema di Ruffini-Abel. Calcolo del gruppo di Galois di alcuni polinomi.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    Galois correspondence and applications

    Textbook and course materials

    Ian Stewart, “Galois Theory”, Chapman Hall/Crc Mathematics, New York, 2009.
    J. Milne, Fields and Galois Theory

    Course objectives

    Students will learn the fundamental notions and results of Galois theory, and they will be able to apply them.

    Prerequisites

    Basic notions on groups, rings and fields

    Teaching methods

    Lectures will be delivered in class. Students will have exercises to solve and the solutions will be discussed in class.

    Evaluation methods

    Written and oral exams

    Course Syllabus

    Field extensions. Algebraic and transcendental elements. Minumal polynomial of an algebraic element. Algebraic and transcendental extensions. Kronecker theorem. Splitting fields, existence and uniqueness. Multiple roots. Isomorphisms of fields. Galois group of a polynomial. Separable and normal extensions. Normal closure. Perfect fields. Fundamental theorem of Galois theory. Algebraically closed fields, algebraic closure of a field. Fundamental theorem of algebra. Primitive element theorem. Ciclotomic extensions. Radical extensions. Solvability of equations. Solvable groups and Galois theorem. Symmetric polynomials. Ruffini-Abel theorem. Computing Galois groups.

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