ITALIANO

Nozioni fondamentali di teoria dei modelli. Teorema di completezza, compattezza e sue conseguenze. Teoremi di Lowenheim-Skolem. Classi di strutture elementari. Teorie complete, teorie k-categoriche. Model completezza. Eliminazione dei quantificatori. Tipi, teorema di omissione dei tipi. Modelli saturi ed omogenei. Ultraprodotti e loro applicazioni.

Chang-Keisler, Teoria dei Modelli, Bollati-Boringhieri
Rothmaler, Introduction to Model Theory, Taylor&Francis
Tent-Ziegler, A course in Model Theory, Cambridge University Press

Lo studente dovrà aver acquisito le nozioni fondamentali di teoria dei modelli e dovrà essere in grado di applicare le tecniche e metodologie studiate per la risoluzione di esercizi e problemi.

Nozioni di base di algebra e di logica matematica.

Lezioni frontali. Particolare attenzione sarà rivolta alla risoluzione di esercizi che saranno presentate dagli studenti a lezione.

Esame orale durante il quale sarà richiesto anche di risolvere esercizi al fine di valutare il grado di maturità raggiunto nell’apprendimento di tecniche e nozioni illustrate nelle lezioni e la padronanza e capacità di utilizzarle nelle risoluzioni di problemi.

Teorie al primo ordine. Teorie complete. Linguaggi espansi, diagramma di una struttura. Teorema di completezza e teorema di compattezza. Applicazioni della compattezza. Classi elementari di strutture. I teoremi di Loweinheim-Skolem. Teorie k-categoriche. Teorema di Vaught per la completezza di una teoria k-categorica. Esempi di teorie k-categoriche: ordini densi lineari privi di massimo e di minimo, gruppi abeliani divisibili e privi di torsioni, campi algebricamenti chiusi di fissata caratteristica. Principio di Lefschetz sul campo complesso. Congettura di Vaught. Teorie decidibili. Tipi di una teoria. Tipi isolati e non isolati, esempi. Teorema di omissione dei tipi. Teorema di Ryll-Nardzewski. Conseguenze in teoria dei gruppi. Strutture sature ed omogenei, modelli primi.
Ultraprodotti: algebre di Boole, filtri e ultrafiltri. Teorema di Los e conseguenze. Costruzione d modelli non standard dei naturali e del campo ordinato reale. Caratterizzazione di strutture assiomatizzabili e finitamente assiomatizzabili.

Italian

Basic notions in model theory. Completeness theorem, compactness and its consequences. Elementary classess. Lowenhein-Skolem theorems. k-categorical theories, complete theories. Model completeness. Elimination of quantifiers. Types, omitting type theorem and consequences. Satuaretd and homogeneous structures. Ultraproducts and their applications.

Chang-Keisler, Teoria dei Modelli, Bollati-Boringhieri
Rothmaler, Introduction to Model Theory, Taylor&Francis
Tent-Ziegler, A course in Model Theory, Cambridge University Press

Students should acquire the fundamental knowledges in model theory, and apply notions and techniques in the solution of problems and exercises.

Basic notions in algebra and mathematical logic

Lectures, and discussion and solutions of exercises presented by the students.

The students will be required to take an oral exam during which they will be asked to reconstruct proofs of the main results covered in the classes, and also to solve exercises in order to assess the level of proficiency achieved in learning the techniques and concepts covered in the lessons, as well as their ability to apply them in problem-solving.

First order theories. Complete theories. Expanded languages and diagram of a structure. Completeness theorem and compactness. Applications of compactness. Elementary classes of structures. Lowenheim-Skolem theorems. k-categorical theories. Complete theories and Vaught test. Examples of k-categorical theories: dense linear order, divisible abelian groups, algebraically closed fields of fixed characteristic. Lefschetz principle. Vaught conjecture. Decidable theories. Types. Isolated types. Omitting type theorem. Ryll-Nardzewski theorem. Saturated and homogeneous structures.
Boolean algebra, filters and ultrafilters. Ultraproducts and Los theorem. Non standard models of arithmetics and of the real numbers. Applications to elementary classes.