ITALIANO

Analisi di strutture al primo ordine mediante le principali tecniche model teoretiche.

P. Rothmaler, Introduction to Model Theory, Taylor & Francis
K.Tent e M. Zigler, A Course in Model Theory, Cambridge University Press
W. Hodges, A Shorter Model Theory, Cambridge University Press

Lo studente dovrà conoscere ed essere in grado di applicare le principali tecniche di teoria dei modelli per lo studio di strutture al primo ordine.

Nozioni di base di logica matematica e di algebra

Lezioni frontali. Saranno inoltre assegnati esercizi che lo studente dovrà risolvere e verranno discussi in aula.

esame oral

Teorie al primo ordine. Teorie complete. Linguaggi espansi, diagramma di una struttura. Teorema di completezza e teorema di compattezza. Applicazioni della compattezza. I teoremi di Loweinheim-Skolem. Teorie k-categoriche. Teorema di Vaught per la completezza di una teoria k-categorica. Esempi di teorie k-categoriche: ordini densi lineari privi di massimo e di minimo, gruppi abeliani divisibili e privi di torsioni, campi algebricamenti chiusi di fissata caratteristica. Principio di Lefschetz sul campo complesso. Model-completezza. Eliminazione dei quantificatori. Teorie decidibili. Tipi di una teoria. Tipi isolati e non isolati, esempi. Teorema di omissione dei tipi. Teorema di Ryll-Nardzewski. Conseguenze in teoria dei gruppi. Strutture sature, modelli primi, modelli atomici. Ultraprodotti: algebre di Boole, filtri e ultrafiltri. Teorema di Los e conseguenze. Costruzione d modelli non standadrd dei naturali e del campo ordinato reale. Caratterizzazione di strutture assiomatizzabili e finitamente assiomatizzabili.

Italian

Model theoretic analysis of first order structures

P. Rothmaler, Introduction to Model Theory, Taylor & Francis
K.Tent e M. Zigler, A Course in Model Theory, Cambridge University Press
W. Hodges, A Shorter Model Theory, Cambridge University Press

Students will know the principal model theoretic techniques and notions and they will be able to use them in the analysis of first order structures

Basic notions of logic and algebra

Lectures will be delivered in class. Homework exercises will be discussed in class.

oral examination

First order structures. . Diagram of a structure. Completeness theorem and compactness theorem. Consequences of compactness. Lowenheim-Skolem theorems. Axiomatizable class of structures. Complete theories. k-categorical theories. Vaught theorem. Dense linear order, torsion free divisible abelian groups, algebraically closed fields. Lefschetz principle. Model-completeness. Elimination of quantifiers. Decidable theories. Types, space of types of a structures, and of a theory. Realized types, isolated types. Omitting type theorem. Ryll-Nardzewski theorem. Saturated structures, prime model, atomic model. Ultraproducts, Los theorem and consequences.