ITALIANO

Programma sintetico
Anelli commutativi unitari
1. Spettro di un anello e topologia di Zariski
2. Anelli locali e localizzazioni
3. Anelli noetheriani ed artiniani
4. Estensioni intere

Moduli
1. Moduli liberi
2. Moduli finitamente generati
3. Moduli noetheriani ed artiniani

Atiyah M e Macdonald I.G., Introduction to Commutative algebra, Addison-Wesley Publishing co., 1969
Sharp R.Y, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press, 2000

Lo studente dovrà conoscere ed essere in grado di applicare i principali risultati dell'algebra commutativa.

Nozioni di base di algebra come gruppi anelli e campi.

Lezioni frontali. Saranno inoltre assegnati esercizi che lo studente dovrà risolvere e verranno discussi in aula.

Esame orale

Richiami di base di teoria degli anelli - Prodotti diretti di anelli. Ideali massimali, primi, irriducibili e primari. Operazioni su ideali (somma, intersezione, prodotto). Il teorema cinese dei resti per anelli. Radicale di un ideale, nilradicale, radicale di Jacobson e ideali quozienti. Estensione e contrazione di ideali. Anelli locali, anelli di frazioni e localizzazioni. La topologia di Zariski sullo spettro primo Spec(R). Condizione della catena ascendente e proprietà equivalenti. Condizione della catena discendente e proprietà equivalente. Anelli noetheriani e artiniani. Il Teorema della Base di Hilbert. Decomposizione primaria in anelli noetheriani. Il Teorema degli zeri (NullstellenSatz) di Hilbert. Anelli di valutazioni e anelli di Dedekind.. Moduli, sottomoduli e loro operazioni (somma, intersezione). Annullatore di un modulo. Moduli fedeli. Somme dirette e prodotti diretti di moduli. Moduli e algebre su anelli noetheriani.. Moduli finitamente generati, moduli liberi. Moduli noetheriani e artiniani. Nakayama lemma. Estensioni intere.

Italian

Short syllabus
Commutative rings
1. Spectrum of a ring and Zariski topology
2. Local rings and localizations
3. Noetherian an Artinian rings
4. Integral extesnions

Modules over a commutative ring
1. Free modules
2. Finitely generated modules
3. Noetherian and Artinian modules

Atiyah M e Macdonald I.G., Introduction to Commutative algebra, Addison-Wesley Publishing co., 1969
Sharp R.Y, Steps in commutative algebra, Cambridge University Press, 2000

Students will know the fundamental notions and results in commutative algebra, and they will be able to apply them

Basic notions in group theory, ring theory and field theory.

Lectures delivered in class. Students will have homework to solve and exercises will be discussed in class.

Oral examination

Brief overview of ring theory. Direct sum of rings. Prime, maximal, irreducible and primary ideals. Operations on ideals (sum, intersection, product) Chinese remainder theorem for commutative rings. Radical of an ideal. Nilradical and Jacobson radical. Quotient ideal. Extensions and contractions of ideals. Local rings and localizations. Spectrum of prime ideals and Zariski topology. Ascending and descending chain conditions and their equivalent forms. Noetherian and Artinian rings. Hilber Basis Theorem. Primary decomposition of a noetherian ring. Hilbert Nullstellensatz. Valuation rings and Dedekind rings. Modules, submodules and operations on modules. Annihilator of a module. Modules and algebras on noetherian rings. Finitely generated modules. Noetherian and Artinian modules. Nakayama lemma. Integral extensions.