ITALIANO

L’insegnamento affronterà le principali tematiche su:
- Il linguaggio matematico
- Insieme dei numeri reali e complessi
- Successioni e Funzioni numeriche
- Calcolo differenziale
- Integrali
- Serie numeriche e serie di Potenze
- Equazioni differenziali ordinarie

Adams R.A. Calcolo Differenziale 1 - Casa Editrice Ambrosiana
- Bramanti M. Pagani C. Salsa S. Analisi matematica I, con elelmenti di Geometria e Algebra Lineare – Zanichelli
- Tenenbaum M., Pollard H., Ordinary Differential equations, Dover Publication
Testi specifici per studenti stranieri/erasmus:
https://patemath.weebly.com/uploads/5/2/5/8/52589185/james-stewart-calculus-early-transcendentals-7th-edition-2012-1-20ng7to-1ck11on.pdf

Gli obiettivi formativi sono declinabili attraverso i c.d. “descrittori di
Dublino”.
Conoscenza e capacità di comprensione
Alla fine di questo insegnamento lo studente dovrà:
riconoscere i grafici e le proprietà asintotiche delle funzioni elementari e saperne individuare gli aspetti fondamentali in termini di modello matematico
conoscere la definizione di limite, il suo significato, le sue interpretazioni grafiche e ricordare i principali risultati teorici sui limiti
conoscere la definizione di derivata, le sue varie interpretazioni, i principali risultati sul calcolo differenziale
spiegare il problema dell’approssimazione locale di una funzione in un punto e conoscere la teoria relativa ai polinomi di Taylor
descrivere la definizione di integrale definito di una funzione su un intervallo e le sue interpretazioni
enunciare e dimostrare il Teorema fondamentale del calcolo integrale ed interpretarlo criticamente, evidenziando la sua centralità rispetto alle nozioni di derivata e integrale definito
discutere il comportamento asintotico e le proprietà qualitative di una successione
conoscere il significato di un’equazione differenziale, la sua rilevanza in termini di modello matematico e saper discutere la risolubilità, anche approssimata, di alcune classi di equazioni differenziali
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Alla fine di questo insegnamento lo studente avrà sviluppato capacità di lavorare sia su aspetti grafici sia su aspetti di calcolo, approssimato o esatto.
In particolare, a livello di grafici saprà:
ottenere dal grafico di una funzione il grafico di nuove funzioni, mediante trasformazioni geometriche o mediante l’uso delle proprietà delle funzioni composte
tracciare il grafico della derivata di una funzione a partire dal grafico della funzione stessa, analizzando in modo critico i legami tra una funzione e la sua derivata
discutere la risolubilità di un’equazione, mediante il confronto tra grafici
A livello di calcolo esatto saprà:
calcolare semplici limiti di funzioni e successioni
calcolare la derivata di una funzione e le sue primitive, in alcuni casi notevoli
determinare gli intervalli di monotonia e quelli di convessità/concavità di una funzione
calcolare integrali definiti
risolvere alcune particolari equazioni differenziali
Inoltre, lo studente saprà utilizzare gli strumenti matematici appresi per studiare alcuni problemi modello in ambito economico (ad esempio: minimizzazione del costo medio; massimizzazione del profitto) e per interpretare e rielaborare grafici qualitativi e dati quantitativi di fenomeni di tipo fisico (cinematica del punto, oscillazioni meccaniche).
Autonomia di giudizio
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà:
costruire ragionamenti fondati, con la necessaria coerenza logica
riconoscere argomentazioni corrette ed individuare ragionamenti fallaci
riconoscere ed individuare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni
collegare e commentare criticamente i principali risultati teorici illustrati nel corso dell’insegnamento, individuando i legami che tra essi intercorrono
Abilità comunicative
Lo studente deve essere in grado di illustrare fondamenti teorici e applicativi relativi agli argomenti sopra indicati. Deve altresì argomentare i collegamenti logici tra diversi temi della materia, utilizzando un linguaggio tecnico proprio della materia.
Capacità di apprendimento
Alla fine di questo insegnamento lo studente saprà affrontare nuovi semplici problemi che richiedano competenze interdisciplinari, analizzando possibili strategie di risoluzione.

Nessuno

Lezioni frontali - Esercitazioni - Prove intercorso

L’insegnamento prevede due prove.
Le prove devono essere sostenute e superate in al più due appelli consecutivi d’esame; nel caso di non superamento di una di esse all’appello successivo bisogna sostenere nuovamente tutte le prove.
La prima prova ha carattere pratico e prevede la risoluzione di esercizi, di varia tipologia, relative ai concetti introdotti nell’insegnamento.
Essa è suddivisa in due parti: la prima parte ha come obiettivo la verifica della capacità di saper risolvere disequazioni con funzioni elementari. In caso di superamento, si accede alla seconda parte il cui obiettivo è la verifica della conoscenza e della comprensione degli argomenti, con riferimento a definizioni, enunciati, dimostrazioni, significati, interpretazioni e collegamenti, in accordo anche con i risultati attesi dell’apprendimento relativi all’autonomia di giudizio.
La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 18/30.
La seconda prova ha l'obiettivo di verificare le conoscenze teoriche e la capacità di apprendimento.
Le domande e gli esercizi sono di varie tipologie e riguardano problemi simili a quelli affrontati durante le lezioni e le esercitazioni.
La prova è superata se si raggiunge un punteggio di almeno 18/30, come somma dei punteggi delle due parti.
Il voto d'esame è la la media tra i punteggi ottenuti nella prima e nella seconda prova.
Durante lo svolgimento delle prove non è consentito consultare libri, appunti e dispositivi elettronici personali.
Studenti degli anni accademici precedenti: gli studenti degli anni accademici precedenti sostengono l’esame con il programma e le modalità dell’anno in corso.
Studenti con disabilità o con DSA: gli studenti con disabilità o con DSA sono invitati a mettersi in contatto con il docente ad inizio insegnamento, per concordare le modalità di apprendimento e di esame più adatte alla loro situazione.

Materiali di supporto online sulla piattaforma Teams
Slides usate dal docente caricate su Teams dell’insegnamento

Il Linguaggio Matematico. Elementi di Teoria degli Insiemi. Prodotto cartesiano di due insiemi. Logica delle proposizioni. Esempi di dimostrazione: la dimostrazione per assurdo. Definizione di relazione di ordine. Definizione di corrispondenza e di funzione. Formule ed Indici: sommatorie. Gli Insiemi Numerici N,Z,Q e R. Assioma dei numeri reali. I numeri naturali: fattoriale e coefficiente binomiale. I numeri interi. I numeri razionali: definizione, rappresentazione geometrica e rappresentazione decimale. Dalla frazione al decimale e viceversa. I numeri irrazionali: irrazionalità di √2. Assioma di Dedekind. Disequazioni di primo grado. Disequazioni di secondo grado. Disequazioni fratte e prodotto. I numeri Complessi. Definizione di numero complesso. Somma e prodotto di due numeri complessi. Il piano di Gauss. Rappresentazione in forma algebrica e in forma trigonometrica: parte reale, parte imma- ginaria, modulo ed anomalia. Passaggio da forma algrebrica a forma trigonometrica e viceversa. Formule di de Moivre. Radici nel campo complesso. Esponenziale complesso e formula di Eulero (s.d.). Equazioni nel campo complesso. Funzioni Numeriche. Il piano cartesiano e definizione di grafico di una funzione. Definizione di funzione iniettiva, suriettiva e biunivoca, composta, inversa. Funzioni pari, dispari e periodica. Funzioni monotone. Definizione di dominio, codominio, insieme immagine e insieme retroimmagine. Lettura del grafico di una funzione. Funzioni limitate: estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo, punto di massimo e punti di minimo. Funzioni definite a tratti. Funzioni lineari a tratti. Grafico di funzione e operazione con i grafici. Le funzioni elementari. Fenomeni vibratori. Successioni. Definizione successione regolare e oscillante, definizione di limite di una successione. Definizione di sostegno. Intorni di un punto. Definizione di limite tramite intorni. Succesioni regolari. Teorema di unicità del limite. Successioni limitate e successioni regolari. Successioni monotone. Teorema di regolarità delle successioni monotone. Il numero di Nepero e sua approssimazione per eccesso e per difetto. Teorema della permanenza del segno e relativo corollario. Algebra dei limiti e forme indeterminate. Successioni regolari e funzioni elementari. Teorema dei Carabinieri. Confronto asintotico di successioni. Gerarchia degli infiniti e principio di cancellazione degli infiniti. Principio di cancellazione degli infinitesimi. Criterio del rapporto e criterio della radice. Formula di Stirling. Limiti di funzioni e Continuità. Definizione di punto di accumulazione. Definizione di limite in un punto di accumulazione. Limite destro e limite sinistro. Definizione di funzione continua. teorema di continuità delle funzioni elementari (s.d.). Classificazione delle discontinuità di una funzione. Teorema ponte (s.d.). Il metodo di bisezione. Teorema degli zeri. Teorema di Weirstrass. Teorema dei valori intermedi. Definizione di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo. Calcolo Differenziale. Rette nel piano: definizione e rappresentazione. Rappresentazione implicita e rappresentazione esplicita. Coefficiente angolare di una retta. Retta secante al grafico: rapporto incremen- tale e coefficiente angolare della retta secante. Retta tangente al grafico vista come posizione limite delle rette secanti passanti per un punto. Coefficiente angolare della retta tangente e derivata. Definizione di funzione derivabile in un punto e in un insieme. Derivata delle funzioni elementari. Classificazione dei punti di non derivabilità. Algebra delle derivate. Definizione di estremo relativo ed estremo assoluto. Teorema di Fermat. Ricerca degli estremi assoluti in un intervallo chiuso e limitato. Monotonia e segno del rapporto incrementale. Teorema di Rolle. Teorema di Lagrange e Applicazioni. Il teorema di Cauchy (s.d.). I teoremi di de L’Hopital (s.d.). Derivate di ordine superiore. Condizioni necessarie e sufficienti per gli estremi relativi. Funzioni convesse e Test di convessità. Grafico di una funzione. Funzioni differenziabili e Teorema del differenziale. Formula di Taylor e formula di Mac Laurin con resto di Peano (dim con n=1,2) e con il resto di Lagrange (s.d.). Il simbolo di o piccolo. Applicazione della formula di Taylor al calcolo approssimato di alcuni valori e stima dell’errore. Applicazione della formula di Taylor al calcolo di limiti. Integrali. Primitiva di una funzione continua. Intergrale indefinito di una funziona continua. Tabella degli integrali immediati. Prima formula di sostituzione e integrali immediati. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Calcolo approssimato di aree di regione piane. Definizione di decomposizione di un intervallo, di somme superiori ed inferiori di una funzione limitata. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann: interpretazione geometrica e interpretazione fisica. Esempio di funzione non integrabile secondo Riemann: la funzione di Dirichlet. Classi di funzioni integrabili secondo Riemann: le funzioni monotone (s.d.) e le funzioni continue (s.d.). Proprietà dell’integrale definito. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Serie Numeriche. Definizione di serie numerica. Definizione di serie numerica regolare, convergente, divergente e indeterminata. La serie geometrica. Serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. La serie armonica. Serie a termini non negativi. Criterio del rapporto(s.d.), criterio della radice (s.d.), criterio del confronto asintotico. La serie armonica generalizzata. Criterio dell’ordine dell’infinitesimo. Serie a segni alterni. Criterio di Leibnitz (s.d.). Serie con termine generale indeterminato in segno. Serie assolutamente convergenti. La convergenza assoluta implica la convergenza semplice (con dimostrazione) ma non `e vero il viceversa: la serie armonica generalizzata a segni alterni. Equazioni Differenziali. Definizione di equazione differenziale, di grado di una equazione, di equa- zione differenziale lineare omogenea e non. Problema di Cauchy per una equazione differenziale. Operatore lineare associato ad una equazione differenziale lineare di ordine 2. Teorema di esistenza e unicità globale per equazioni differenziali lineari (s.d.). Metodo di risoluzione di equazioni del lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti e polinomio caratteristico. Equazioni differenziali lineari non omogenee: ricerca della soluzione particolare tramite il metodo di somiglianza e il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Italian

The class will face the main themes on:
- Mathematical Language
- The sets of real and complex numbers
- Sequences and real functions
- Differential Calculus
- Integrals
- Series and power series
- Ordinary differential equations

- Adams R.A. Calcolo Differenziale 1 - Casa Editrice Ambrosiana
- Bramanti M. Pagani C. Salsa S. Analisi matematica I, con elelmenti di Geometria e Algebra Lineare - Zanichelli
- Tenenbaum M., Pollard H., Ordinary Differential equation - Dover Publications
Books only for foreign/erasmus students:
https://patemath.weebly.com/uploads/5/2/5/8/52589185/james-stewart-calculus-early-transcendentals-7th-edition-2012-1-20ng7to-1ck11on.pdf

The training objectives can be defined through the so-called “descriptors of Dublin”:
Knowledge and understanding
At the end of this teaching the student will have to:
recognize graphs and asymptotic properties of elementary functions and be able to identify the fundamental aspects in terms of mathematical model
know the definition of limit, its meaning, its graphical interpretations and remember the main theoretical results on limits
know the definition of derivative, its interpretations, the main results on differential calculus
explain the problem of local approximation of a function in a point and know the theory of Taylor polynomials
describe the definition of definite integral of a function on an interval and its interpretations
state and prove the Fundamental Theorem of integral calculus and interpret it, highlighting its centrality with respect to the notions of derivative and definite integral
discuss the asymptotic behavior and the qualitative properties of a sequence, also defined by recurrence
explain the problem of the exact solvability and approximate solvability of an equation and know the main methods for the approximate resolution
know the meaning of a differential equation, its relevance in terms of mathematical model and know how to discuss the solvability, even approximate, of some classes of differential equations
Apply the knowledge and comprehension
At the end of this teaching the student will have developed the ability to work both on graphical and calculus aspects, the latter both approximate and exact.
In particular, concerning graphs, he will be able to:
obtain from the graph of a function the graph of new functions, through geometric transformations or through the use of the properties of the composition of two or more functions
draw the graph of the derivative of a function starting from the graph of the function itself, analyzing the links between a function and its derivative
discuss the solvability of an equation, by comparing graphs
Concerning the exact calculus, he will be able to:
compute simple limits of functions and sequences
compute the derivative of a function and its primitives, in some particular cases
determine the monotonicity intervals and the convexity/concavity intervals of a function
compute definite or improper integrals
solve some particular differential equations
Furthermore, the student will be able to use the mathematical tools learned to study some model problems in the economic field (for example: minimization of the average cost; maximization of profit) and to interpret and re-elaborate qualitative graphs and quantitative data of phenomena of a physical type (kinetic point , mechanical oscillations).
Judgement autonomy
At the end of this teaching the student will know how to:
build well-founded reasoning, with the necessary logical coherence
recognize correct arguments and identify fallacious reasoning
recognize and identify logical arguments with a clear identification of assumptions and conclusions
connect and comment on the main theoretical results illustrated during the course, identifying the links between them
Communication skills
The student must be able to illustrate theoretical and applicative foundations relating to the above signed arguments. It must also argue the logical connections between different themes of the subject, using a technical language specific to the subject.
Learning ability
At the end of this teaching the student will be able to face new simple problems that require interdisciplinary skills, analyzing possible resolution strategies.

None

Theoretical Lessons - Practice Lessons - Checks during the course

The course includes two tests.
The tests must be given and passed in at most two consecutive exam session; in the case of failing one of them at the next appeal you have to take all the tests again.
The first exam is practical and involves solving various exercises related to the concepts introduced in the course. It is divided into two parts: the first part tests the student's ability to solve inequalities with elementary functions. Passing the exam leads to the second part, which tests knowledge and understanding of the topics, including definitions, statements, proofs, meanings, interpretations, and connections, in accordance with the expected learning outcomes related to independent judgment.
The test is passed with a minimal score of 18/30.
The second test consists of verifying the ability to apply theoretical knowledge and learning ability.
The questions and exercises are of various type and concern problems similar to those faced during the lessons and exercises.
The test is passed with a minimal score of 18/30.
During the tests it is not allowed to consult books, notes and electronic devices.
Students of the past academic years: students of previous academic years must take the exam with the program and procedures for the current year.
Students with disabilities or with DSA: students with disabilities or with DSA are invited to get in touch with the teacher at the beginning of teaching, to agree on the learning and exam methods best suited to their situation.

Support material online on Teams platform
Slides used by the teacher on Teams

Mathematical Language. Elements of Set Theory. Cartesian product of two sets. Logic of propositions. Examples of proof: proof by contradiction. Definition of order relation. Definition of correspondence and function. Formulas and indices: summations. The Number Sets N, Z, Q, and R. Axiom of Real Numbers. Natural Numbers: Factorial and Binomial Coefficient. Integers. Rational Numbers: Definition, Geometric Representation, and Decimal Representation. From Fraction to Decimal and Vice Versa. Irrational Numbers: Irrationality of √2. Dedekind's Axiom. First-degree Inequalities. Second-degree Inequalities. Fractional Inequalities and Product. Complex Numbers. Definition of a complex number. Sum and product of two complex numbers. The Gaussian plane. Representation in algebraic and trigonometric form: real part, imaginary part, modulus, and anomaly. Transition from algebraic to trigonometric form and vice versa. De Moivre's formulas. Roots in the complex field. Complex exponential and Euler's formula. Equations in the complex field. Numerical Functions. The Cartesian plane and definition of the graph of a function. Definition of injective, surjective, bijective, composite, and inverse functions. Even, odd, and periodic functions. Monotone functions. Definition of domain, codomain, image set, and retroimage set. Reading the graph of a function. Bounded functions: upper bound and lower bound, maximum and minimum, maximum and minimum points. Piecewise-defined functions. Piecewise-linear functions. Graphs of functions and operations with graphs. Elementary functions. Vibrational phenomena. Sequences. Definition of regular and oscillating sequences, definition of the limit of a sequence. Definition of support. Neighborhoods of a point. Definition of limit via neighborhoods. Regular sequences. Uniqueness of limits theorem. Bounded and regular sequences. Monotone sequences. Regularity theorem of monotone sequences. Napier's number and its approximations by excess and defect. The permanence of sign theorem and its corollary. Algebra of limits and indeterminate forms. Regular sequences and elementary functions. The Carabinieri's theorem. Asymptotic comparison of sequences. Hierarchy of infinities and the principle of cancellation of infinities. The principle of cancellation of infinitesimals. Ratio criterion and root criterion. Stirling's formula. Function Limits and Continuity. Definition of an accumulation point. Definition of a limit at an accumulation point. Right-hand limit and left-hand limit. Definition of a continuous function. Continuity theorem of elementary functions (s.d.). Classification of discontinuities of a function. Bridge theorem (s.d.). The bisection method. Zero theorem. Weirstrass's theorem. Intermediate value theorem. Definition of horizontal, vertical, and oblique asymptotes. Differential Calculus. Lines in the Plane: Definition and Representation. Implicit Representation and Explicit Representation. Slope of a Line. Secant Line to the Graph: Incremental Ratio and Slope of the Secant Line. Tangent Line to the Graph Seen as the Limit of Secant Lines Passing Through a Point. Slope of the Tangent Line and its Derivative. Definition of a Function Differentiable at a Point and in a Set. Derivative of Elementary Functions. Classification of Points of Non-Differentiability. Algebra of Derivatives. Definition of Relative and Absolute Extrema. Fermat's Theorem. Finding Absolute Extrema in a Closed and Bounded Interval. Monotonicity and Sign of the Incremental Ratio. Rolle's Theorem. Lagrange's Theorem and Applications. Cauchy's Theorem (unknown). L'Hopital's Theorems (unknown). Higher-order derivatives. Necessary and sufficient conditions for relative extrema. Convex functions and Convexity Tests. Graph of a function. Differentiable functions and the Differential Theorem. Taylor's formula and MacLaurin's formula with Peano remainder (dim with n=1, 2) and with Lagrange remainder (s.d.). The small o symbol. Application of Taylor's formula to the approximate computation of some values and error estimation. Application of Taylor's formula to the computation of limits. Integrals. Antiderivative of a continuous function. Indefinite integral of a continuous function. Table of immediate integrals. First substitution formula and immediate integrals. Integration of rational functions. Integration by parts. Integration by substitution. Approximate calculation of the areas of plane regions. Definition of the decomposition of an interval, upper and lower sums of a bounded function. Definition of a Riemann-integrable function: geometric interpretation and physical interpretation. Example of a function not Riemann-integrable: the Dirichlet function. Classes of Riemann-integrable functions: monotone functions (d.s.) and continuous functions (d.s.). Properties of the definite integral. Theorem of mean value. Fundamental theorem of integral calculus. Fundamental formula of integral calculus. Numerical Series. Definition of numerical series. Definition of regular, convergent, divergent, and indeterminate numerical series. The geometric series. Telescopic series. Necessary condition for the convergence of a series. The harmonic series. Series with nonnegative terms. Ratio test (d.s.), root test (d.s.), asymptotic comparison test. The generalized harmonic series. Order of the infinitesimal test. Series with alternating signs. Leibniz test (d.s.). Series with a general term indeterminate in sign. Absolutely convergent series. Absolute convergence implies simple convergence (with proof), but the converse is not true: the generalized harmonic series with alternating signs. Differential Equations. Definition of a differential equation, the degree of an equation, and homogeneous and non-homogeneous linear differential equations. Cauchy problem for a differential equation. Linear operator associated with a second-order linear differential equation. Global existence and uniqueness theorem for linear differential equations (s.d.). Method for solving first-order linear equations. Homogeneous linear differential equations with constant coefficients and a characteristic polynomial. Non-homogeneous linear differential equations: finding the particular solution using the similarity method and the Lagrange multiplier method.