italiano

Il seminario è finalizzato ad acquisire una padronanza di alcune elementari tecniche numeriche adatte al calcolo di integrali definiti (anche impropri e/o singolari) ed all’integrazione di problemi differenziali ordinari ai valori iniziali in una o più dimensioni. E’ prevista una preponderante parte esercitativa (numerica) svolta mediante il linguaggio di programmazione FORTRAN.

Poiché il seminario ha una natura applicativa ed esistendo intere biblioteche sugli argomenti trattati, si preferisce distribuire dispense a cura del docente evitando così dispersioni di tempo ed energie.

Il seminario mette in grado lo studente di calcolare il valore numerico di integrali e la soluzione numerica di problemi differenziali ordinari ai valori iniziali mediante semplici codici FORTRAN, scritti ad hoc dallo studente. Inoltre stimola la capacità di valutare l’accuratezza delle soluzioni numeriche ottenute. Acquisire queste capacità ed un motivato senso critico è molto importante per il lavoro del fisico e promuove una piena autonomia da codici commerciali, spesso utilizzati in modo improprio e poco consapevole. Infine, la capacità di integrare numericamente è estremamente utile durante gli studi universitari per verificare la correttezza di integrali o di soluzioni di problemi differenziali ordinari ottenute analiticamente.
Viene inoltre curata la presentazione grafica professionale dei risultati ottenuti, mediante l’utilizzo del programma gnuplot.
Tutte le risorse software necessarie sono rigorosamente di dominio pubblico e gratuite.

E’ richiesta una conoscenza elementare della nozione di integrale (definito) e dell’integrazione di problemi differenziali ordinari. Non è quindi necessario aver superato esami di Analisi Matematica.

Il seminario si articola in 8 ore di lezioni frontali, nelle quali vengono presentate le tecniche di integrazione, ed in 24 ore di esercitazioni al calcolatore. Queste ultime sono indispensabili per familiarizzare con il linguaggio FORTRAN (di grande semplicità e potenza) e con la sua applicazione pratica all’integrazione numerica.

La frequenza dei seminari e il superamento di una prova di seguito descritta permette l’acquisizione di 3 CFU con un giudizio di idoneità. Ad ogni studente viene assegnato un problema da risolvere numericamente e la verifica consiste nel discutere la soluzione sviluppata autonomamente e presentata in forma grafica professionale.

Al fine di utilizzare strumenti software gratuiti, è richiesta la disponibilità di un computer avente una partizione UNIX (ad esempio UBUNTU), del tutto gratuita. Il sistema operativo WINDOWS non è adatto allo scopo di questo seminario, ponendo una serie di difficoltà tecniche dovute solo alla necessità di trarre un profitto economico dall’utilizzo di un computer.

Parte 1: Valutazione di integrali definiti

1.1) Formulazione del problema;
1.2) Metodo dei trapezi;
1.3) Implementazione in FORTRAN ed analisi dell’errore;
1.4) Metodo delle parabole (o di Cavalieri-Simpson);
1.5) Implementazione in FORTRAN ed analisi dell’errore;
1.6) Metodo di Gauss;
1.7) Implementazione in FORTRAN e valutazione numerica dell’errore.

Parte 2: Valutazione di integrali impropri e/o singolari
2.1) Integrali su domini illimitati: richiamo sulle condizioni di integrabilità all’infinito;
2.2) Implementazione in FORTRAN del calcolo di integrali su domini illimitati;
2.3) Integrali di funzioni singolari: richiamo sulle condizioni di integrabilità in un punto;
2.4) Implementazione in FORTRAN del calcolo di integrali di funzioni aventi singolarità di infinito;
2.5) Analisi dell’accuratezza.

Parte 3: Integrazione di problemi differenziali ai valori iniziali del primo ordine
3.1) Metodo di Eulero;
3.2) Implementazione in FORTRAN del metodo di Eulero;
3.3) Analisi dell’errore e verifica sperimentale;
3.4) Metodo di Runge-Kutta 2° ordine;
3.5) Implementazione in FORTRAN del metodo di Runge-Kutta 2° ordine;
3.6) Analisi dell’errore e verifica sperimentale;
3.7) Metodo di Runge-Kutta 4° ordine;
3.8) Implementazione in FORTRAN del metodo di Runge-Kutta 4° ordine;
3.9) Verifica sperimentale dell’errore;
3.10) Considerazioni sulla scelta del passo di integrazione.


Parte 4: Integrazione di problemi differenziali ai valori iniziali del secondo ordine
4.1) Integrazione di problemi del primo ordine pluridimensionali;
4.2) Riduzione di un problema del secondo ordine ad un problema al primo ordine di dimensione doppia;
4.3) Implementazione in FORTRAN dei tre metodi sviluppati nella parte 3;
4.4) Definizione ed analisi dell’errore per un problema del secondo ordine;
4.5) Calcolo della traiettoria di una massa puntiforme in un campo di forze.

Italian

The course is aimed to acquire basic knowledges about numerical techniques used in
the calculation of definite integrals (also improper, or singular),
and in the integration of Cauchy problems in one or more dimensions.
A large part of the course is devoted to the writing of FORTRAN codes.

Due to the applicative nature of the course and to the huge quantities of
textbooks, it is preferred to distribute notes written by the theacher.

The course enables the student to calculate the numerical value of complicate
definite integrals, as well as the solution of difficult Cauchy problems. To
this aim, the student writes simple "ad hoc" FORTRAN codes. Moreover, the
student acquires the capability of evaluating the accuracy of his numerical
results. This skill is important for the work of the physicist, in particular
for the conscious use of commercial codes.
The graphical presentation of the results will also be required. To this aim,
the gnuplot program will be employed. All the software resources employed
in the course are free.

An elementary knowledge of the definite integral is required, as well as
of the ordinary Cauchy problems. It is not required to take the math exam in
advance.

The course is formed by 8 hours of frontal lessons, dedicated to the
numerical integration techniques, and by 24 hours of exercises with the
computer. These latter are important for translating in FORTRAN codes the
theories discussed in the lessons, for debugging them and for producing
accurate numerical results.
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The attendance of the course, as well as the pass of the final test (that
is described below), enable to acquire 3 CFU, through a suitability judgment.
To each student is assigned a problem to be numerically solved and the exam
consists in discussing the procedure of solution, that must be independently
developed and professionally presented.

In order to use free software, it is needed a computer (better if it is a laptop) in which there is the free operating system UNIX (for example, UBUNTU). All
the software used is free.

Part 1: Numerical calculation of definite integrals
1.1) Problem formulation;
1.2) Method of trapezoids;
1.3) Writing of a FORTRAN code and error analysis;
1.4) Method of parables (also known as Cavalieri-Simpson method);
1.5) Writing of a FORTRAN code and error analysis;
1.6) Gauss integration;
1.7) Writing of a FORTRAN code and error analysis.

Part 2: Calculation of improper (or singular) integrals
2.1) Integrals on unbounded domains: recalls on the integrability conditions;
2.2) Writing of FORTRAN codes for evaluating integrals on unbounded domains;
2.3) Integrals of singular functions: recalls of the integrability conditions;
2.4) Writing of FORTRAN codes for evaluating integrals of singular functions;
2.5) Accuracy analysis.

Part 3: Integration of Cauchy problems of the first order
3.1) Euler method;
3.2) Writing of a FORTRAN code for integrating with the Euler method;
3.3) Error analysis and comparison with analytical solutions;
3.4) Method of Runge-Kutta at the second order;
3.5) Writing of a FORTRAN code for integrating with the second order Runge-Kutta method;
3.6) Error analysis and comparison with analytical solutions;
3.7) Method of Runge-Kutta at the fourth order;
3.8) Writing of a FORTRAN code for integrating with the fourth order Runge-Kutta method;
3.9) Error analysis and comparison with analytical solutions;
3.10) The choice of the integration step.

Part 4: Integration of Cauchy problems of the second order
4.1) Integration of multi-dimensional first order problems;
4.2) Reduction of a second order problem to a first order one;
4.3) Writing of FORTRAN codes for the three methods introduced in the Part 3;
4.4) Definition and analysis of the error in a second order problem;
4.5) Calculation of the motion of a massive particle in a force field.