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    Giusi VAIRA

    Insegnamento di COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

    Corso di laurea in FISICA

    SSD: MAT/05

    CFU: 6,00

    ORE PER UNITÀ DIDATTICA: 52,00

    Periodo di Erogazione: Secondo Semestre

    Italiano

    Lingua di insegnamento

    ITALIANO

    Contenuti

    Le tematiche principali del corso sono due: lo studio delle funzioni di una variabile complessa e lo studio delle equazioni differenziali ordinarie.


    FUNZIONI DI VARIABILE COMPLESSA
    • Funzioni complesse di variabile complessa e continuità
    • Funzioni olomorfe
    • Integrale curvilineo di una funzione complessa (e continua) lungo una curva regolare a tratti
    • Primitive di funzioni complesse
    • Formule integrali di Cauchy
    • Successioni e serie di funzioni complesse
    • Serie di potenze e funzioni analitiche
    • Serie di Laurent e singolarità isolate
    • Residui
    • Trasformata di Fourier
    • Trasformata di Laplace
    EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
    • Esistenza e unicità per il problema di Cauchy.
    • Prolungamento e intervalli massimali.
    • Lemma di Gronwall.
    • Dipendenza dai dati iniziali.
    • Risoluzione di equazioni lineari (e sistemi)
    • Equazioni lineari con condizioni al bordo
    • Equazioni autonome nonlineari (analisi locale, stabilità dei punti di equilibrio, analisi globale)
    • Qualche modello dalla biologia

    Testi di riferimento

    - F.J. Flanigan, Complex Variables, Dover
    - C. Mascia, EDO equazioni differenziali ordinarie, Pitagora
    - L. Piccinini, G. Stampacchia, G. Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Liguori

    Obiettivi formativi

    Relativamente alla prima tematica, il corso intende introdurre lo studente allo studio delle funzioni complesse di una variabile complessa, portandolo ad un livello adeguato di conoscenza e comprensione di:
    • principali funzioni elementari di variabile complessa;
    • concetto di funzione olomorfa e le sue principali proprietà;
    • vari tipi di singolarità di funzioni di variabile complessa;
    • metodi di integrazione di funzioni di variabile complessa;
    • proprietà di base della trasformata di Fourier e di Laplace

    Per la seconda tematica gli obbiettivi formativi sono invece:
    • introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie;
    • fornire metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari;
    • fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale.

    Prerequisiti

    conoscenza dei numeri complessi, conoscenza di elementi di topologia di base

    Metodologie didattiche

    - Lezioni frontali
    -Esercitazioni

    Metodi di valutazione

    Esame scritto e orale.

    Altre informazioni

    Consultare la pagina e-learning.

    Programma del corso

    Disponibile alla fine del corso.

    English

    Teaching language

    Italian

    Contents

    The main topics of the course are two: the study of the functions of a complex variable and the study of ordinary differential equations.


    COMPLEX VARIABLE FUNCTIONS
    • Complex functions of complex variable and continuity
    • Holomorphic functions
    • Curvilinear integral of a complex (and continuous) function along a piecewise regular curve
    • Primitives of complex functions
    • Formulas of Cauchy
    • Sequences and series of complex functions
    • Series of powers and analytical functions
    • Laurent series and isolated singularities
    • Residues
    • Fourier transform
    • Laplace transform
    ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
    • Existence and uniqueness for the Cauchy problem.
    • Extension and maximum intervals.
    Gronwall's lemma.
    • Dependence on initial data.
    • Solving linear equations (and systems)
    • Linear equations with boundary conditions
    • Nonlinear autonomous equations (local analysis, stability of equilibrium points, global analysis)
    • Some models from biology

    Textbook and course materials

    - F.J. Flanigan, Complex Variables, Dover
    - C. Mascia, EDO equazioni differenziali ordinarie, Pitagora
    - L. Piccinini, G. Stampacchia, G. Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Liguori

    Course objectives

    With regard to the first topic, the course intends to introduce the student to the study of the complex functions of a complex variable, bringing him to an adequate level of knowledge and understanding of:
    • main elementary functions of complex variable;
    • concept of holomorphic function and its main properties;
    • various types of singularities of complex variable functions;
    • methods of integrating complex variable functions;
    • basic properties of the Fourier and Laplace transform


    For the second topic, the aims are instead:
    • introduce the student to the main concepts and problems related to ordinary differential equations;
    • provide methods for solving systems of linear and nonlinear differential equations;
    • provide tools for the qualitative study of the solutions of a differential equation.

    Prerequisites

    knowledge of complex numbers, knowledge of basic topology elements

    Teaching methods

    - Theoretical Lessons
    - Practice Lessons

    Evaluation methods

    Written and oral exam.

    Other information

    See e-learning web page.

    Course Syllabus

    Available at the end of the course.

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