Italiano

I principi della meccanica dei sistemi di particelle e dei corpi rigidi liberi o vincolati. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie: esistenza, unicità, stabilità. Sistemi dinamici. Sistemi integrabili a un grado di libertà. Sistemi integrabili a più gradi di libertà: problema dei due corpi, moti per inerzia di un corpo rigido. Sistemi dinamici lagrangiani: metodi di riduzione, simmetrie e integrali primi. Sistemi dinamici hamiltoniani: il metodo di Hamilton e Jacobi, sistemi integrabili, Teoremi di Liouville e di Arnold.

G. Starita – Dispense del corso
G. Gallavotti – Meccanica elementare
A. Fasano e S. Marmi – Meccanica analitica
R. Esposito – Meccanica razionale
H. Goldstein, C. Poole e J. Safko – Meccanica classica

Conoscenza e capacità di comprensione:Il corso si propone di introdurre gli studenti alle formulazioni lagrangiane e hamiltoniane della Meccanica, con particolare riguardo allo studio dei sistemi integrabili.Capacità di applicare conoscenza e comprensione:Gli studenti dovranno acquisire la capacità di risolvere problemi di Meccanica.Abilità comunicativeIl corso si propone l'obiettivo di sviluppare la capacità dello studente di esporre in modo chiaro e rigoroso concetti e leggi della Meccanica classica.

I prerequisiti del corso di Meccanica Analitica si identificano con i contenuti dei corsi di Analisi Matematica 1 e 2, di Geometria e di Meccanica

Lezioni frontali di teoria, per un totale di 56 ore, e di esercitazioni, per un totale di 36 ore.

Colloquio orale della durata di 40 minuti circa consistente nella esposizione di argomenti del programma svolto.

1 – Cinematica
Descrizione cinematica del moto di una particella. Descrizione del moto relativo di due riferimenti. Rotazioni dello spazio tridimensionale e loro proprietà. Angoli di Eulero. Velocità angolare. Derivate assoluta e relativa. Velocità e accelerazione nel moto relativo di riferimenti. Composizione di moti relativi. Trasformazione del moto, della velocità, dell’accelerazione tra due riferimenti.
2 - I princìpi della Meccanica
Sistemi di punti materiali e grandezze meccaniche associate. Corpi rigidi e grandezze meccaniche associate. Tensore d’inerzia di un corpo rigido. Terna principale d’inerzia di un corpo rigido. Corpi rigidi giroscopici e loro proprietà. Sistemi di riferimento inerziali e principio di inerzia. Le equazioni di Newton. Il principio di azione e reazione. Equazioni cardinali della Meccanica dei sistemi di particelle. Equazioni cardinali per i corpi rigidi. Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto nei sistemi chiusi. Lavoro, potenza e Teorema dell’energia cinetica. Le leggi di forza. Forze derivanti da un’energia potenziale e Teorema di conservazione dell’energia. Forze dissipative e Teorema di dissipazione dell’energia. Soluzioni di quiete e loro caratterizzazione. Soluzioni di quiete per sistemi conservativi o dissipativi. Stabilità delle quiete per sistemi conservativi o dissipativi: criterio di Lagrange e Dirichlet. Sistemi di punti vincolati. Le reazioni vincolari. L’equazione del moto per un punto su una curva in assenza di attrito. Spazio delle configurazioni. Velocità possibili e velocità virtuali. I vincoli ideali (postulato delle reazioni vincolari). Equazione di D’Alembert e Lagrange. Equa- zione simbolica della dinamica. Coordinate lagrangiane e velocità lagrangiane. Forma lagrangiana delle equazioni del moto. Il principio del determinismo per le equazioni di Lagrange. Integrali primi per le equazioni di Lagrange; il caso delle coordinate cicliche (integrali primi dei momenti cinetici) e dei sistemi autonomi (integrale primo di Jacobi). Equazioni del moto per un corpo rigido libero e per un copro rigido vincolato.
3 - Sistemi dinamici
Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: posizione del problema. Sistemi in forma normale. Il problema di Cauchy. Teorema di unicità locale e globale. Teo- rema di esistenza. Soluzioni costanti. Stabilità delle soluzioni costanti. Il criterio di stabilità di Liapunov. Sistemi dinamici autonomi. Proprietà di invarianza del- la soluzione. Orbite e ritratto di fase. Determinismo orbitale. Orbite singolari, periodiche e aperiodiche.
4 - Sistemi a un grado di libertà.
Condizione di equilibrio. Forze posizionali e energia potenziale. Condizione di equilibrio per sistemi conservativi e dissipativi. Forze di richiamo; forze elastiche. Resistenze passive; resistenze viscose e idrauliche. Il modello lineare. L’oscillatore armonico. Moti lineari smorzati. Moti forzati degli oscillatori armonici. Moti forzati dei sistemi smorzati. Sistemi soggetti a forze posizionali: l’integrale dell’energia e la determinazione della legge oraria. Le curve di livello dell’energia. Il ritratto di fase. Caratterizzazione dei punti singolari; soluzioni di quiete. Caratterizzazione dei punti periodici: moti periodici. Punti aperiodici: moti non limitati e moti con meta asintotica. Determinazione dell’energia potenziale in funzione del periodo. Il pendolo semplice.
5 - Sistemi lagrangiani.
Sistemi dinamici lagrangiani ed equazioni di Lagrange. Sistemi lagrangiani con coordinate ignorabili e metodo di riduzione di Routh. Sistemi lagrangiani autonomi e metodo di riduzione di Whittaker. Gruppi di trasformazioni a un parametro dello spazio delle fasi. Gruppi di trasformazione di simmetria. Teorema di Noether. Principio variazionale di Hamilton. Principio variazionale di Maupertuis.
6 - Moti nei campi di forze centrali.
Campi di forze centrali. La conservazione dell’energia e del momento della quantità di moto. Moti radiali in un campo di forze centrali; il caso delle forze newtoniane. Il piano di Laplace di un punto in un campo centrale. Studio analitico delle orbite in un campo di forze newtoniano: orbite ellittiche, paraboliche, iperboliche. Il problema dei due corpi. Le leggi di Keplero.
7 - Moti dei corpi rigidi.
Caduta libera di un corpo rigido. Moti rotatori di un corpo rigido: il pendolo composto. Moti per inerzia di un corpo rigido: soluzione analitica. Rotazioni uniformi di un corpo rigido. Moti per inerzia di un corpo rigido: descrizione di Poinsot.
8 - Sistemi hamiltoniani.
Sistemi dinamici hamiltoniani ed equazioni di Hamilton. Sistemi hamiltoniani con coordinate ignorabili. Sistemi hamiltoniani autonomi e coservazione dell’hamiltoniana. Trasformata di Legendre. Coordinate naturali. Campi hamiltoniani e loro caratterizzazione. Trasformazioni canoniche e completamente canoniche. Un criterio di canonicità. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche. Equazione di Hamilton–Jacobi.

Italian

The laws of the motion for systems of particles and for rigid bodies. Ordinary systems of differential equations: existence, unicity, stability. Dynamical systems. One dimensional integrable systems. Integrable systems with more degree of freedom: the two bodies problem, Poinsot motions of a rigid body. Lagrangian dynamical systems: reduction methods, symmetries and first integrals. Hamiltonian dynamical systems: the method of Hamilton and Jacobi, integrable systems, Liouville and Arnold Theorems.

G. Starita – Dispense del corso
G. Gallavotti – Meccanica elementare
A. Fasano e S. Marmi – Meccanica analitica
R. Esposito – Meccanica razionale
H. Goldstein, C. Poole e J. Safko – Meccanica classica

Knowledge and understandingThe course intends to provide an introduction to lagrangian and Hamiltonian formulation of Mechanics, with a particular focus on the integrable systems.Applying knowledge and understandingStudents will be able to solve mechanical problems.Communication skillsThe course is aimed to develop the capability of the students to illustrate and discuss, in a clear and rigorous way, Mechanics concepts.

The student should know the contents of Mathematical Analysis 1 and 2 as well as Geometry and Mechanics.

The course is organised into 56 hours of classroom lessons and 36 hours of exercises.

Verification and assessment of the level of knowledge will be done by means of an oral test which takes about 40 minutes and deals with the presentation and discussion of subjects belong to the course syllabus.

1 – Kinematics
Kinematic description of the motion of a particle. Description of the relative motion of two references. Rotations of three-dimensional space and their properties. Angles of Euler. Angular speed. Absolute and relative derivatives. Speed and acceleration in the relative motion of references. Composition of relative motions. Transformation of motion, speed, acceleration between two references.
2 - The principles of mechanics
Systems of material points and associated mechanical quantities. Rigid bodies and associated mechanical quantities. Inertial tensor of a rigid body. Main inertial reference of a rigid body. Gyroscopic rigid bodies and their properties. Inertial reference systems and inertial principle. Newton's equations. The principle of action and reaction. Balance equations of particle systems mechanics. Cardinal equations for rigid bodies. Conservation of momentum and momentum of momentum in closed systems. Work, power and Theorem of kinetic energy. The laws of force. Forces arising from potential energy and Energy conservation theorem. Dissipative forces and energy dissipation theorem. Rest solutions and their characterization. Rest solutions for conservative or dissipative systems. Stability of rest for conservative or dissipative systems: Lagrange and Dirichlet criteria. Systems of constrained points. The vincular forces. The equation of motion for a point on a curve in the absence of friction. Configurations space. Possible speeds and virtual speeds. The ideal constraints (postulate of the vincular forces). D'Alembert and Lagrange equation. Symbolic equation of dynamics. Lagrangian coordinates and Lagrangian speed. Lagrangian form of the equations of motion. The determinism principle for Lagrange equations. First integrals for the Lagrange equations; the case of cyclic coordinates (first integrals of kinetic moments) and autonomous systems (Jacobi's integral first). Equations of motion for a free rigid body and for a constrained rigid body.
3 - Dynamic systems
Systems of differential equations of the first order: position of the problem. Systems in normal form. The Cauchy problem. Theorem of local and global uniqueness. Theorem of existence. Constant solutions. Stability of constant solutions. The stability criterion of Liapunov. Autonomous dynamic systems. Properties of invariance of the solution. Orbites and phase portrait. Orbital determinism. Singular, periodic and aperiodic orbits.
4 - Systems with a degree of freedom.
Condition of equilibrium. Positional forces and potential energy. Condition of equilibrium for conservative and dissipative systems. Recall forces; elastic forces. Passive resistances; viscous and hydraulic resistances. The linear model. The harmonic oscillator. Muted linear motions. Forced motions of the harmonic oscillators. Forced motions of damped systems. Systems subject to positional forces: the integral of energy and the determination of the hourly law. The energy level curves. The stage portrait. Characterization of singular points; quiet solutions. Characterization of periodic points: periodic motions. Aperiodic points: unrestricted motions and motions with an asymptotic goal. Determination of potential energy according to the period. The simple pendulum.
5 - Lagrangian systems.
Lagrangian dynamical systems and Lagrange equations. Lagrangian systems with ignitable coordinates and Routh reduction method. Autonomous Lagrangian systems and Whittaker reduction method. Transformation groups to a phase space parameter. Symmetry transformation groups. Noether's theorem. Hamilton variational principle. Variational principle of Maupertuis.
6 - Motions in the fields of central forces.
Central forces fields. Conservation of energy and momentum momentum. Radial motions in a field of central forces; the case of the Newtonian forces. The Laplace plane of a point in a central field. Analytical study of orbits in a Newtonian force field: elliptic, parabolic, hyperbolic orbits. The problem of the two bodies. The laws of Kepler.
7 - Motions of rigid bodies.
Free fall of a rigid body. Rotating motions of a rigid body: the composed pendulum. Motions for inertia of a rigid body: analytical solution. Uniform rotations of a rigid body. Motions for inertia of a rigid body: description of Poinsot.
8 - Hamiltonian systems.
Hamiltonian dynamical systems and Hamilton equations. Hamiltonian systems with ignitable coordinates. Autonomous Hamiltonian systems and the Hamiltonian coservation. Legendre Transform. Natural coordinates. Hamiltonian fields and their characterization. Canonical and completely canonical transformations. A criterion of canonicity. Functions generating canonical transformations. Hamilton-Jacobi equation.