ITALIANO

Il corso si propone di illustrare i principali metodi numerici per la risoluzione di problemi matematici che si presentano nelle applicazioni.

Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Paola Gervasio. Matematica Numerica, Springer.
Note fornite dal docente.

Obiettivo centrale è quello di fornire nozioni matematiche e computazionali per il problem solving.

Concetti di base del calcolo differenziale per una o più variabili e algebra delle matrici.

Lezioni frontali e lezioni in laboratorio.

Elaborato di laboratorio con l'utilizzo di matlab e Excel. Colloquio.

-

I fondamenti della matematica numerica. Buona posizione e numero di condizionamento di un
Problema. Stabilità di metodi numerici.

Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti. Analisi di stabilità per sistemi lineari, condizionamento di una matrice. Analisi a priori in avanti.
Analisi a posteriori (cenni). Risoluzione di sistemi triangolari. Aspetti implementativi dei metodi delle sostituzioni. Il metodo di eliminazione gaussiana (MEG) e la fattorizzazione LU. Cenni alle tecniche di pivoting. Calcolo dell’inversa.

Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi. Convergenza di metodi iterativi. I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e del rilassamento. Risultati di convergenza per i metodi di Jacobi e di Gauss-Seidel. Risultati di convergenza.
Risoluzione di equazioni e sistemi non lineari. Il metodo di bisezione
I metodi delle corde, secanti, Regula Falsi e Newton. Il metodo delle iterazioni di punto fisso. Risultati di convergenza. Il metodo di Newton per la risoluzione di sistemi di equazioni non lineari.

Interpolazione polinomiale. Interpolazione polinomiale di Lagrange. L’errore di interpolazione Limiti dell’interpolazione polinomiale su nodi equispaziati e controesempio di Runge. Forma di Newton del polinomio interpolatore. Formule composite. Interpolazione mediante spline. Calcolo della spline naturale.

Programmazione Lineare. Definizione del problema, condizioni di ottimalità. Parametri di Lagrange. Risoluzione di problemi di PL con il solutore di Excel.

La risoluzione del problema dei minimi quadrati lineari. Approccio numerico. Modellazione dei dati. determinazione parametri ottimi in modelli non lineari.
Utilizzo delle routine matlab built in per la risoluzione dei problemi trattati nel corso.

Italian

The course aims to introduce the main numerical methods for solving mathematical problems that arise in practical applications.

Alfio Quarteroni, Riccardo Sacco, Fausto Saleri, Paola Gervasio. Matematica Numerica, Springer.
Class notes.

The main objective is to provide mathematical and computational concepts for the problem solving.

Basic concepts of differential calculus for one or more variables and matrix algebra

Lectures and laboratory exercises

Laboratory assignment using MATLAB and Excel. Oral exam.

-

The fundamentals of numerical mathematics. Well posedness and condition number of a
problem. Stability of numerical methods.

Solving linear systems using direct methods. Stability analysis for linear systems, matrix condition. A priori forward analysis.
A posteriori analysis (overview). Solving triangular systems. Implementation aspects of substitution methods. The Gaussian elimination method (GEM) and LU factorization. Introduction to pivoting techniques. Inverse matrix calculation.

Solving linear systems using iterative methods. Convergence of iterative methods. The Jacobi, Gauss-Seidel, and relaxation methods. Convergence results for the Jacobi and Gauss-Seidel methods. Convergence results.
Solving nonlinear equations and systems. The bisection method
The chord, secant, Regula Falsi, and Newton methods. The fixed-point iteration method. Convergence results. The Newton method for solving systems of nonlinear equations.

Polynomial interpolation. Lagrange polynomial interpolation. Interpolation error. Limits of polynomial interpolation on equispaced nodes and Runge’s counterexample. Newton’s form of the interpolating polynomial. Composite formulas. Spline interpolation. Calculation of the natural spline.

Linear Programming. Problem definition, optimality conditions. Lagrange multipliers. Solving LP problems with the Excel solver.
Solving the linear least-squares problem. Numerical approach. Data modeling. Determination of optimal parameters in nonlinear models.
Use of built-in MATLAB routines for solving the problems covered in the course.