INGLESE

L’insegnamento introduce metodologie e algoritmi di ottimizzazione applicati a problemi reali di ricerca operativa. Il programma affronta: (1) Richiami di algebra lineare e geometria dello spazio; (2) Formulazione matematica di problemi di decisione e ottimizzazione; (3) Programmazione lineare, con enfasi sul metodo del simplesso e sulla teoria della dualità; (4) Analisi di sensibilità per valutare la robustezza delle soluzioni.

D. Bertsimas, J.N. Tsitsiklis, Introduction to Linear Optimization, Belmont (MA), Athena Scientific 1997, pp. 608.
D.G. Luenberger, Y. Ye, Linear and Nonlinear Programming, 3rd ed., New York, Springer 2008, pp. 546.
Hillier, Frederick S., and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. 10th ed., McGraw-Hill Education, 2016. . 1088 pp.
A.C. Chiang, K. Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, 4th ed., New York, McGraw-Hill 2005, pp. 688.
Appunti e materiale didattico fornito dal docente sulla piattaforma e-learning di Ateneo.

Al termine dell’insegnamento, lo studente dovrà aver acquisito:
Conoscenza e capacità di comprensione: Comprendere i concetti fondamentali della programmazione lineare e della teoria dell’ottimizzazione; conoscere i principali algoritmi risolutivi.
Utilizzazione delle conoscenze e capacità di comprensione: Saper formulare problemi reali in modelli matematici e saper selezionare e applicare correttamente i metodi di base utilizzando strumenti software appropriati (Excel, MATLAB, Python).
Capacità di trarre conclusioni (Autonomia di giudizio):  Valutare criticamente la robustezza delle soluzioni ottenute e interpretare l’analisi di sensitività nel contesto del problema reale.
Abilità comunicative: saper esprimere formulazioni matematiche di problemi di decisione, saper illustrare i metodi e gli strumenti appropriati per la loro risoluzione, saper comunicare i risultati ottenuti utilizzando un linguaggio tecnico-scientifico adeguato.
Capacità di apprendere: Disporre degli strumenti metodologici per approfondire autonomamente tecniche avanzate di ottimizzazione e nuove applicazioni della ricerca operativa.

Si raccomanda la conoscenza solida dei contenuti dei corsi di Algebra lineare e Analisi Matematica.

L’insegnamento prevede 48 ore totali (6 CFU), così ripartite:
Lezioni frontali (40 ore) articolate nei seguenti moduli didattici:
Moduli teorici frontali: presentazione della teoria dell’ottimizzazione e delle metodologie per la risoluzione numerica di problemi di programmazione lineare.

Moduli laboratoriali: attività di "learning by doing", simulazioni e applicazione pratica delle conoscenze acquisite.
Esercitazioni (8 ore): risoluzione pratica di esercizi tratti dai test di riferimento, inclusi test intermedi e finali per la verifica del livello di apprendimento. 
La frequenza non è obbligatoria ma è fortemente consigliata.

La verifica prevede due prove integrate:
Prova scritta (120 minuti): Esercizi di formulazione di problemi di programmazione lineare, risoluzione di un problema di programmazione lineare mediante il metodo grafico, risoluzione di un problema di programmazione lineare mediante metodo del simplesso o analisi del problema duale. Non è consentito consultare testi o appunti. Non è consentito l’uso di Smart-Phone o tablet.
Prova orale (20 minuti):  colloquio articolato in domande sugli argomenti teorici oggetto del programma dell’insegnamento, atto ad accertare il livello di conoscenze raggiunto.
Per essere ammessi alla valutazione, gli studenti devono presentare un documento d'identità valido.
Struttura della valutazione: La prova scritta è propedeutica alla prova orale. La propedeuticità richiede il raggiungimento di almeno 18/30 nella prova scritta per accedere alla prova orale. Il voto finale (in trentesimi) è calcolato come la media dei punteggi ottenuti nelle due prove. Il voto della prova scritta rimane valido fino alla sessione di esami successiva a quella in cui è stata sostenuta la prova.
Parametri di valutazione: La valutazione considera: (1) correttezza della formulazione matematica, (2) capacità di applicazione del metodo del simplesso e sue varianti e dei concetti teorici appropriati, (3) qualità dell’interpretazione dei risultati, (4) uso del lessico specialistico.
Descrittore Criteri di Valutazione (Rubrica)
Voto
30 - 30L
Eccellente conoscenza dei contenuti teorici. Ottima capacità di formulazione del modello matematico a partire da un problema reale complesso e di applicazione delle metodologie per la programmazione lineare; capacità di analisi e interpretazione critica dei risultati; ottime capacità di esposizione utilizzando un linguaggio tecnico.
26 – 29
Buona conoscenza dei contenuti teorici. Buona capacità di formulazione del modello matematico a partire da un problema reale e corretta applicazione delle metodologie per la loro risoluzione; buona capacità di interpretare i risultati; buone capacità di esposizione utilizzando un linguaggio tecnico.
22 – 25
Discreta conoscenza dei contenuti teorici. Capacità di formulazione corretta del modello matematico a partire da un problema reale e corretta applicazione delle metodologie per la loro risoluzione; sufficiente capacità di interpretare i risultati; sufficiente capacità di esposizione utilizzando un linguaggio tecnico.

18 – 21
Requisiti minimi: conoscenza basilare dei contenuti teorici; formulazione corretta di problemi semplici di programmazione lineare; capacità di risolvere problemi risolvere problemi di programmazione lineare con il metodo grafico. Parziale capacità di utilizzo delle metodologie numeriche di risoluzione di un problema di programmazione lineare. Capacità limitata di esposizione utilizzando un linguaggio tecnico.

Il materiale didattico, gli script e gli esercizi saranno resi disponibili dal docente.

Preliminari Matematici (0.5 CFU / 4 ore):
Richiami di algebra lineare e geometria dello spazio (0.5 CFU).
Introduzione all’Ottimizzazione ( 0.75 CFU / 6 ore):
Problemi di decisione e modelli di ottimizzazione. Definizione di minimo locale e globale. Condizioni di ottimalità. (0.25 CFU).
Passaggio da un problema concreto alla formulazione matematica. Primi esempi di problemi di programmazione lineare (il problema della dieta, il problema del trasporto, il problema di produzione). Forma standard di un problema di programmazione lineare (0.5 CFU).
Programmazione Lineare (3.25 CFU / 26 ore):
Geometria della programmazione lineare e teorema fondamentale (0.5 CFU).
Metodo di risoluzione grafica (0.5 CFU).
Definizione di un metodo iterativo di discesa. Metodo del simplesso in forma standard, metodo del simplesso revisionato e relativa complessità computazionale (1 CFU).
Metodo del simplesso in forma tabellare (0.25).
Utilizzo di software in ambiente Excel, Matlab e Python per la risoluzione di problemi di programmazione lineare (1 CFU).
Teoria della dualità (0.75 CFU / 6 ore):
Funzione lagrangiana, il problema duale. Teoremi di dualità debole e dualità forte. Analisi di sensitività (concetti di base).
Esercitazione (1 CFU / 8 ore): 
Risoluzione pratica di esercizi tratti dai test di riferimento, test intermedi e finali per la verifica del livello di apprendimento.

English

The course introduces optimization methodologies and algorithms applied to real-world operations research problems. The program covers: (1) Recalls of linear algebra; (2) Mathematical formulation of decision and optimization problems; (3) Linear programming with focus on simplex method and duality theory; (4) Sensitivity analysis.

D. Bertsimas, J.N. Tsitsiklis, Introduction to Linear Optimization, Belmont (MA), Athena Scientific 1997, pp. 608.
D.G. Luenberger, Y. Ye, Linear and Nonlinear Programming, 3rd ed., New York, Springer 2008, pp. 546.
Hillier, Frederick S., and Gerald J. Lieberman. Introduction to Operations Research. 10th ed., McGraw-Hill Education, 2016. . 1088 pp.
A.C. Chiang, K. Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics, 4th ed., New York, McGraw-Hill 2005, pp. 688.
Lecture notes and teaching materials provided by the instructor on the university's e-learning platform.

Knowledge and understanding: Demonstrate a comprehensive understanding of the fundamentals of linear programming and optimization theory, and identify the main solution algorithms.
Applying knowledge: Be able to formulate real-world problems as mathematical models and correctly applying optimization methods using appropriate software (Excel, MATLAB, Python).
Making judgements: Critically evaluate solution robustness and interpret the practical implications of sensitivity analysis results.
Communication skills: Be able to clearly present mathematical formulations, to explain appropriate methods and tools for their solution, and to communicate technical results using proper academic and professional language.
Learning skills: Possess the methodological tools to autonomously deepen advanced optimization techniques in future study or work.

Solid knowledge of Linear Algebra and Mathematical Analysis is strongly recommended.

The total number of hours is 48 (6 CFU - ECTS credits).

Lectures (40 hours):
Theoretical modules: Presentation of optimization theory and numerical methods for solving linear programming problems.
Laboratory modules: “Learning by doing” activities, simulations, and practical application of acquired knowledge.


Tutorials / Problem Sessions (8 hours):
Practical exercises drawn from reference tests, including midterm and final assessments to monitor learning progress.
Attendance is not mandatory but strongly recommended.

Two integrated assessments:
1. Written test (120 min): Exercises on problem formulation, graphic resolution, simplex method or duality. No textbooks or notes allowed. No smartphone or tablet are allowed.
2. Oral exam (20 min): Questions on theoretical topics covered in the course to assess the level of knowledge achieved.
Evaluation structure: Marks are expressed in a scale ranging from 0 to 30. The minimum passing mark is 18/30. Outstanding performance is marked 30/30 cum laude.
To access the oral exam, students must have achieved at least 18/30 in the written exam. The final grade is the average of the marks obtained in the written and in the oral examination.
The mark of the written exam is valid for one subsequent session.
Students must present a valid ID document to be admitted to the exam.
Evaluation parameters: (1) Mathematical formulation correctness, (2) Simplex algorithm application, (3) Result interpretation quality, (4) Technical terminology.
Rubric
30 - 30L
Excellent knowledge of theory; outstanding ability to formulate mathematical models from complex real problems; strong analytical and critical interpretation skills; excellent technical communication.
26 – 29
Good theoretical knowledge; good modeling ability; correct application of methods; good interpretation and communication skills in technical language.
22 – 25
Fair theoretical knowledge; adequate modeling and method application; sufficient interpretation and communication skills.
18 – 21
Minimum requirements: basic theoretical knowledge; correct formulation of simple LP problems; ability to solve LP problems graphically; partial ability with numerical methods; limited technical communication.

Teaching materials, scripts, and exercises will be provided by the instructor.

1. Mathematical Preliminaries (0.5 ECTS / 4 hours)
Recalls of linear algebra and space geometry
2. Introduction to Optimization (0.75 ECTS / 6 hours)
Decision problems and optimization models. Local and global minima definitions. Optimality conditions
From real problems to mathematical formulation. First LP examples: diet problem, transportation problem, production problem. Standard form of a linear programming problem
3. Linear Programming (3.25 ECTS / 26 hours)
Geometry of linear programming and fundamental theorem. Graphical resolution method
Basics of iterative descent methods; Simplex method and revised simplex method; computational complexity
Tabular simplex method
Use of Excel, MATLAB, and Python software for solving LP problems
4. Duality Theory (0.75 ECTS / 6 hours)
Lagrangian function. Dual problem. Weak and strong duality theorems. Basics of sensitivity analysis.
5. Practice Sessions (1 ECTS / 8 hours)
Practical exercises from reference tests. Midterm and final tests to assess learning progress.