ITALIANO

L'insegnamento introduce le principali metodologie per la risoluzione numerica di problemi matematici di interesse ingegneristico. Il programm affronta: (1) l'aritmetica finita e l'analisi degli errori di rappresentazione e di calcolo; (2) i metodi diretti e iterativi per la soluzione dei sistemi lineari; (3) l'interpolazione polinomiale e l'approssimazione ai minimi quadrati; (4) i metodi numerici per la risoluzione di equazioni non lineari; (5) le formule di quadratura numerica; (6) l'utilizzo di MATLAB per l'implementazione degli algoritmi numerici e l'analisi dei risultati.

Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer.
V. Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, Apogeo.
Appunti delle lezioni e materiale didattico fornito dal docente attraverso la piattaforma e-learning.

Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà aver acquisito:
Conoscenza e capacità di comprensione
Comprendere i concetti fondamentali alla base dei principali metodi numerici per la risoluzione di problemi di algebra lineare, interpolazione, approssimazione, equazioni non lineari e integrazione numerica, conoscerne le proprietà teoriche e il costo computazionale.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Saper selezionare e applicare il metodo numerico più appropriato in relazione al problema matematico, implementare gli algoritmi fondamentali in ambiente MATLAB, interpretare criticamente i risultati numerici ottenuti e valutarne accuratezza ed affidabilità.
Capacità di trarre conclusioni (Autonomia di giudizio)
Saper confrontare differenti metodi numerici e valutarne l'efficienza. Saper valutare criticamente la robustezza delle soluzioni ottenute e interpretare i risultati nel contesto del problema reale. Saper riconoscere le principali fonti di errore e analizzare il condizionamento dei problemi affrontati.
Abilità comunicative
Saper descrivere gli algoritmi numerici argomento del corso (proprietà teoriche e implementazioni pratiche), utilizzando un linguaggio tecnico-scientifico adeguato.
Capacità di apprendere
Disporre degli strumenti metodologici per approfondire autonomamente metodi numerici più avanzati e utilizzare software scientifici per la risoluzione di problemi ingegneristici.

Sono richieste solide conoscenze di Analisi Matematica e Algebra Lineare.

L'insegnamento prevede 48 ore complessive (6 CFU), articolate in:
lezioni frontali dedicate alla presentazione dei fondamenti teorici dell'Analisi Numerica;
attività laboratoriali ed esercitazioni svolte in aula riguardanti la risoluzione di problemi numerici in ambiente MATLAB ,finalizzate all'implementazione degli algoritmi studiati e all'analisi delle loro prestazioni.
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata.

La verifica dell'apprendimento consiste in una prova orale, finalizzata ad accertare sia la preparazione teorica sia la capacità dello studente di utilizzare gli strumenti dell'Analisi Numerica per la risoluzione di problemi computazionali.
Durante il colloquio lo studente dovrà:
-dimostrare la conoscenza dei fondamenti teorici degli argomenti trattati nel corso;
-discutere le proprietà matematiche dei principali metodi numerici (stabilità, convergenza, accuratezza e complessità computazionale, ove applicabili);
-mostrare lo sviluppo e descrivere in dettaglio due algoritmi tra quelli studiati durante il corso, illustrandone i passaggi fondamentali, le ipotesi di applicabilità, i criteri di arresto e le principali caratteristiche numeriche. Mostrare la risoluzione di problemi test significativi, motivando la scelta del metodo più appropriato in relazione al problema considerato e interpretare criticamente i risultati ottenuti.
Parametri di valutazione
La valutazione finale è espressa in trentesimi. Essa considera: (1) correttezza delle formulazioni matematiche, (2) capacità di applicazione dei metodi numerici studiati e dei concetti teorici appropriati, (3) qualità dell’interpretazione dei risultati, (4) chiarezza espositiva e uso del lessico specialistico.

Descrittore Criteri di Valutazione (Rubrica)
30–30L
Conoscenza completa degli argomenti, eccellente padronanza teorica, eccellente capacità di implementazione e discussione degli algoritmi, esposizione rigorosa in linguaggio tecnico-scientifico appropriato.
26–29
Buona preparazione teorica, corretta applicazione dei metodi numerici, buona capacità di interpretazione dei risultati.
22–25
Preparazione soddisfacente, corretta applicazione degli algoritmi fondamentali con limitata autonomia nelle situazioni più complesse.
18–21
Requisiti minimi: conoscenza basilare dei contenuti teorici; basilare capacità di applicare i principali algoritmi numerici a problemi semplici. Capacità limitata di esposizione utilizzando un linguaggio tecnico.

Le dispense, gli esercizi, i codici MATLAB e l'eventuale materiale integrativo saranno resi disponibili dal docente attraverso la piattaforma e-learning.

Fondamenti di Analisi Numerica (0,5 CFU – 4 ore)
Fondamenti della matematica numerica. Rappresentazione posizionale. Aritmetica finita: numeri in virgola fissa e in virgola mobile. Precisione di macchina, errore di rappresentazione. Analisi dell’errore in aritmetica finita: stabilità degli algoritmi. Norme vettoriali e matriciali.
2. Sistemi lineari (2 CFU – 16 ore)
Introduzione alla soluzione numerica dei sistemi lineari. Casi particolari: sistemi diagonali, sistemi triangolari. Calcolo dell’inversa per sistemi triangolari e discussione degli aspetti implementativi. Soluzione numerica dei sistemi lineari triangolari: algoritmo di sostituzione all’indietro e di eliminazione in avanti.
Metodi diretti per la risoluzione di sistemi lineari. Fattorizzazione LU. Teorema di esistenza e unicità della fattorizzazione LDU (enunciato). Trasformazioni elementari di Gauss, metodo di eliminazione di Gauss con strategia diagonale. Cenni al pivoting parziale e totale. Complessità computazionale. Stabilità dei metodi diretti. Condizionamento dei sistemi lineari. Costruzione generale dei
metodi iterativi per sistemi lineari. Condizioni di convergenza. Velocità asintotica di convergenza. Metodi iterativi di Jacobi e di Gauss-Siedel e relativi teoremi di convergenza (enunciati).
3. Interpolazione e approssimazione (1,25 CFU – 10 ore)
Interpolazione polinomiale. Metodo dei coefficienti indeterminati. Interpolazione di Lagrange. Errore di interpolazione e stime. Controesempio di Runge. Nodi di Chebychev. Differenze divise. Costruzione del polinomio interpolante nella forma di Newton. Schema di horner generalizzato. Polinomio di Chebuchev. Cenni all’interpolazione mediante spline.
Introduzione al problema lineare dell’approssimazione. Approssimazione polinomiale: il metodo dei minimi quadrati. Proprietà del problema dei minimi quadrati, condizionamento, metodo delle equazioni normali, risoluzione.
4. Equazioni non lineari (1 CFU – 8 ore)
Metodi numerici per la risoluzione di equazioni non lineari (caso scalare). Metodo di bisezione. Metodo delle approssimazioni successive (iterazioni di punto fisso).
Teorema di esistenza e unicità del punto fisso (enunciato e dimostrazione). Teorema di convergenza globale (enunciato e dimostrazione). Teorema di convergenza locale (enunciato). Propagazione degli errori nel metodo delle approssimazioni successive. Criteri di arresto e ordine di convergenza. Metodo di Newton-Raphson. Regula falsi. Metodo delle secanti.
5. Quadratura numerica (0,25 CFU – 2 ore)
Cenni alle formule di quadratura interpolatorie. Formula del trapezio e del rettangolo. Formula di Cavalieri-Simpson. Formule composite.
rettangolo. Formula di Cavalieri-Simpson. Formule composite.
6. Laboratorio MATLAB (1 CFU – 8 ore)
Ambiente MATLAB. Script e funzioni. Implementazione degli algoritmi numerici. Analisi degli errori e confronto tra metodi.

Italian

The course introduces the main methodologies for the numerical solution of mathematical problems arising in engineering applications. The program covers: (1) finite precision arithmetic and error analysis; (2) direct and iterative methods for solving linear systems; (3) polynomial interpolation and least-squares approximation; (4) numerical methods for nonlinear equations; (5) numerical integration techniques; (6) implementation of numerical algorithms using MATLAB.

Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri, Matematica Numerica, Springer.
V. Comincioli, Analisi Numerica: metodi, modelli, applicazioni, Apogeo.
Lecture notes and teaching material provided by the instructor through the university e-learning platform.

Learning Outcomes
At the end of the course, students are expected to have acquired:
Knowledge and understanding
Understand the fundamental concepts underlying the main numerical methods for solving problems in linear algebra, interpolation, approximation, nonlinear equations, and numerical integration. Understand their theoretical properties and computational cost.
Applying knowledge and understanding
Be able to select and apply the most appropriate numerical method for a given mathematical problem, implement the fundamental algorithms in the MATLAB environment, critically interpret the numerical results obtained, and assess their accuracy and reliability.
Making judgements
Be able to compare different numerical methods and evaluate their efficiency. Be able to critically assess the robustness of the computed solutions and interpret the results in the context of the underlying mathematical problem. Be able to identify the main sources of numerical error and analyze the conditioning of the problems under consideration.
Communication skills
Be able to describe the numerical algorithms covered in the course, including their theoretical properties and practical implementation, using appropriate scientific and technical terminology.
Learning skills
Acquire the methodological tools needed to independently study more advanced numerical methods and to use scientific software for solving engineering problems.

A solid background in Calculus, Linear Algebra and Geometry is required.

The course consists of 48 contact hours (6 ECTS credits), organized as follows:
Lectures devoted to the presentation of the theoretical foundations of Numerical Analysis.
Laboratory activities and classroom tutorials focused on the solution of numerical problems using the MATLAB environment, aimed at implementing the numerical algorithms covered in the course and analyzing their performance.
Attendance is not compulsory but is strongly recommended.

Assessment consists of an oral examination aimed at evaluating both the student's theoretical knowledge and their ability to apply the methods of Numerical Analysis to the solution of computational problems.
During the examination, students are expected to:
demonstrate a sound understanding of the theoretical foundations of the topics covered in the course;
discuss the mathematical properties of the main numerical methods, including stability, convergence, accuracy, and computational complexity, where applicable;
present the derivation and describe in detail two algorithms among those covered during the course, explaining their main steps, assumptions, stopping criteria, and principal numerical properties;
solve significant benchmark problems by applying the numerical methods studied, justifying the choice of the most appropriate method for the problem under consideration and critically interpreting the results obtained.
Evaluation Criteria
The final grade is expressed on a 30-point scale. Assessment is based on the following criteria:
correctness of the mathematical formulation;
ability to apply the numerical methods studied and the underlying theoretical concepts;
quality of the interpretation of the results;
clarity of presentation and appropriate use of technical terminology.

Assessment Rubric
30–30 cum laude
Excellent knowledge of the course topics; outstanding theoretical understanding; excellent ability to present, discuss, and apply the numerical algorithms covered in the course; rigorous presentation using appropriate scientific and technical terminology.
26–29
Good theoretical preparation; correct application of numerical methods; good ability to interpret and discuss the obtained results.
22–25
Satisfactory theoretical preparation; correct application of the fundamental numerical algorithms, with limited autonomy when dealing with more complex problems.
18–21
Minimum requirements: basic knowledge of the theoretical concepts; basic ability to apply the main numerical algorithms to simple problems; limited ability to present the material using appropriate technical terminology.

Teaching materials, MATLAB scripts, and exercises will be provided by the instructor.

1. Fundamentals of Numerical Analysis (0.5 ECTS – 4 hours)
Fundamentals of Numerical Analysis. Positional number representation. Finite-precision arithmetic: fixed-point and floating-point numbers. Machine precision and representation error. Error analysis in finite-precision arithmetic. Stability of numerical algorithms. Vector and matrix norms.

2. Linear Systems (2 ECTS – 16 hours)
Introduction to the numerical solution of linear systems. Special cases: diagonal and triangular systems. Computation of the inverse of triangular systems and implementation issues. Numerical solution of triangular linear systems by forward and backward substitution.
Direct methods for the solution of linear systems. LU factorization. Existence and uniqueness theorem for the LDU factorization (statement). Elementary Gauss transformations. Gaussian elimination without pivoting. Overview of partial and complete pivoting strategies. Computational complexity. Stability of direct methods. Conditioning of linear systems.
General construction of iterative methods for linear systems. Convergence conditions. Asymptotic rate of convergence. Jacobi and Gauss–Seidel iterative methods and their convergence theorems (statements).

3. Interpolation and Approximation (1.25 ECTS – 10 hours)
Polynomial interpolation. Method of undetermined coefficients. Lagrange interpolation. Interpolation error and error estimates. Runge's counterexample. Chebyshev nodes. Divided differences. Construction of the interpolating polynomial in Newton form. Generalized Horner's scheme. Chebyshev polynomials. Introduction to spline interpolation.
Introduction to the linear approximation problem. Polynomial approximation by the least-squares method. Properties of the least-squares problem, conditioning, normal equations, and their solution.
4. Nonlinear Equations (1 ECTS – 8 hours)
Numerical methods for solving nonlinear equations (scalar case). Bisection method. Fixed-point iteration.
Existence and uniqueness theorem for fixed points (statement and proof). Global convergence theorem (statement and proof). Local convergence theorem (statement). Error propagation in fixed-point iterations. Stopping criteria and order of convergence. Newton–Raphson method. Regula Falsi method. Secant method.

5. Numerical Integration (0.25 ECTS – 2 hours)
Introduction to interpolatory quadrature formulas. Rectangle and trapezoidal rules. Cavalieri–Simpson rule. Composite quadrature formulas.

6. MATLAB Laboratory (1 ECTS – 8 hours)
MATLAB environment. Scripts and functions. Implementation of numerical algorithms. Error analysis and comparison of numerical methods.