ITALIANO

- Il linguaggio matematico
- Insieme dei numeri reali e complessi
- Successioni numeriche
- Funzioni reali di una variabile reale
- Calcolo differenziale
- Calcolo integrale
- Equazioni differenziali ordinarie

Teoria
- Bramanti M., Pagani C., Salsa S. Analisi matematica I - Zanichelli
- Marcellini P., Sbordone C. Analisi Matematica uno - Liguori Editore.
- Adams R.A., Essex C. Calcolo Differenziale. Funzioni di una variabile reale.
Vol 1 - Casa Editrice Ambrosiana
Esercizi
- Alvino A., Carbone L., Trombetti G. Esercitazioni di Matematrica
(Volume primo, parte prima e parte seconda) - Liguori Editore.
- Marcellini P., Sbordone C. Esercitazioni di matematica
(Volume primo, parte prima e parte seconda) - Liguori Editore.
- Bramanti M. Esercitazioni di Analisi Matematica 1 – Società editrice Esculapio

Lo scopo dell’insegnamento è quello di fornire allo studente le conoscenze fondamentali del calcolo e raggiungere un uso consapevole dei metodi di base dell'analisi matematica. Alla fine del corso, lo studente dovrebbe aver raggiunto i seguenti obiettivi:
- Capacità di seguire un ragionamento logico deduttivo rigoroso e di riprodurre semplici dimostrazioni.
- Capacità di comunicare e spiegare nozioni e strutture di base dell'analisi matematica.
- Conoscenza e comprensione dei principali concetti e tecniche di Analisi Matematica.
- Abilità di applicare le sue conoscenze per affrontare problemi di base in matematica applicata.
- Capacità di ragionamento matematico e abilità nel leggere e comprendere ulteriori testi su argomenti correlati.

Nessuno

Lezioni frontali ed esercitazioni

Prove intercorso. Esame scritto ed esame orale.

1. Il linguaggio matematico
Logica delle proposizioni. Esempi di tecniche di dimostrazione: dimostrazione per induzione, dimostrazione per assurdo. Definizione di corrispondenza e di funzione. Gli insiemi numerici N,Z,Q e R. Disequazioni di primo grado. Disequazioni di secondo grado. Disequazioni fratte e prodotto.

2. Insieme dei numeri reali e complessi
Numeri reali. Rappresentazione geometrica. Operazioni, ordinamento. Intervalli. Struttura metrica: il modulo e le sue proprietà. Insiemi limitati, massimo e minimo, estremo inferiore e superiore. Gli assiomi dei numeri reali. Numeri complessi: introduzione.


3. Successioni, serie, funzioni

Funzioni reali di variabile reale. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzione composta, funzione inversa. Grafici di funzioni. Richiami sulle funzioni elementari: i polinomi, le funzioni razionali, il modulo, le funzioni trigonometriche e le loro inverse, la funzione esponenziale e la funzione logaritmo. Funzioni invertibili e funzioni monotone.
Successioni di numeri reali. Definizione di limite. Proprietà delle successioni convergenti. Successioni divergenti ed oscillanti. Monotonia del limite. Forme indeterminate. Confronto di infiniti. Successioni monotone: caratterizzazione del limite in termini di estremo superiore/inferiore. Serie numeriche: definizione e convergenza. Linearità. Condizione necessaria. Serie a termini positivi. La serie geometrica, la serie armonica generalizzata. Criterio di confronto e del confronto asintotico. Serie a segno qualsiasi. Una condizione sufficiente per la convergenza: la convergenza assoluta. La serie esponenziale. Serie di potenze.
Limiti di funzioni: definizione, esempi e controesempi. Operazioni con i limiti. Monotonia del limite. Teorema del confronto per i limiti di funzioni. Teorema ponte e criterio di non esistenza. Limiti infiniti e limiti all'infinito. Limite destro e sinistro. Confronto di infiniti e di infinitesimi. Limiti notevoli. Funzioni continue. Classi di funzioni continue ed esempi di funzioni discontinue. Teorema dei valori intermedi e teorema di esistenza degli zeri. Problemi di massimo e minimo su intervalli chiusi e limitati. Teorema di Weierstrass.

4. Calcolo differenziale

Definizione di derivata e significato geometrico, retta tangente, regole di derivazione, derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse, derivazione delle funzioni elementari e delle loro inverse. Estremi locali, punti critici e teorema di Fermat. I teoremi di Rolle e di Lagrange. Funzioni monotone. Estremi locali di funzioni derivabili, funzioni con derivata zero. Le regole di de l’Hospital. Approssimazione lineare di una funzione, il differenziale, le derivate successive. Funzioni con contatto di ordine n, polinomio di Taylor e di Mac Laurin, la formula di Taylor con resto di Lagrange e resto di Peano. I polinomi di Taylor delle funzioni elementari, applicazioni del teorema di Taylor: estremi locali, calcolo numerico, confronti asintotici tra funzioni e calcolo dei limiti. Serie di Taylor, sviluppo delle funzioni elementari. Studio di funzione.

5. Calcolo integrale
L’integrale di Riemann. Teorema della media integrale e il teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di funzioni e integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri e criteri di convergenza.


6. Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine con secondo membro omogeneo e non omogeneo: lo spazio delle soluzioni, determinazione di una soluzione particolare attraverso il metodo di analogia.

ITALIAN

- The mathematical language
- The real and complex numbers
- Sequences
- Real functions of one real variable
- Differential calculus
- Integral calculus
- Ordinary differential equations

Theory
- Bramanti M., Pagani C., Salsa S. Analisi matematica I - Zanichelli
- Marcellini P., Sbordone C. Analisi Matematica uno - Liguori Editore.
- Adams R.A., Essex C. Calcolo Differenziale. Funzioni di una variabile reale.
Vol 1 - Casa Editrice Ambrosiana
Exercises
- Alvino A., Carbone L., Trombetti G. Esercitazioni di Matematrica
(Volume one, part one and part two) - Liguori Editore.
- Marcellini P., Sbordone C. Esercitazioni di matematica
(Volume one, part one and part two) - Liguori Editore.
- Bramanti M. Esercitazioni di Analisi Matematica 1 – Società editrice Esculapio

The aim of the course is to give the students the fundamental knowledge of the calculus and to achieve a conscious use of the basic methods of the mathematical analysis. At the end of the course, the students should have reached the following objectives:
- The skill to follow a rigorous logic deductive argument and to reproduce simple proofs.
- The skill to explain basic notions and structures of the mathematical analysis.
- The knowledge and the comprehension of the main concepts and technics of the Mathematical Analysis.

No one

Lectures and exercises sessions

Written texts during the course. Written and oral examination.

1. The mathematical language
The logic of the propositions. Examples of techniques of proof: induction, reductio ad absurdum.
Definition of correspondence and functions.
The sets of numbers: N, Z, Q, R. Inequalities: linear, quadratic, rational and product.
2. The real and complex numbers
Real numbers and their geometric representation. Operations and order. Intervals. The modulus and its properties. Bounded sets, max, min, sup, inf. Axioms of the real numbers. Introduction of the complex numbers.

3. Sequences, series and real functions of one real variable

Injective, surjective and bijective functions. Composition of functions, inverse of functions. Graphs of functions. Elementary. functions: polynomials, rational functions, the modulus, trigonometric functions and their inverse, the exponential, the logarithm. Invertible and monotone functions. Sequences of real numbers. Limits.

4. Differential calculus

Derivative of a real function of one variable: definition and geometric meaning, derivation rules, derivation of the composition of two functions, derivation of the inverse function, derivation of the elementary functions and of their inverse. Critical points, Fermat theorem. Local extrems. The theorems of Rolle and Lagrange. Monotone functions. De l'Hopital rules. Linear approximation of a function, the differential, successive derivatives. Functions with order n contacts, Taylor and Mac Laurin polynomials, Taylor formula with Lagrange and Peano remainders.
Taylor polynomials of elementary functions, applications of Taylor's theorem: local extrems, numerical computations, asymptotic comparison among functions and limits calculus. Taylor's series and its application to elementary functions. Study of the graph of functions.

5. Integral calculus
Riemann integral.
Integral mean value theorem and the fundamental theorem of the integral calculus.
Primitive function and the indefinite integral. Integration by parts and by substitution. Improper integrals and convergence criteria.

6. Ordinary differential equations
Linear equations of first order. Linear equations of second order. Homogeneous and non-homogeneous right-hand side case: the space of solutions, particular solution through the similarity method.