ITALIANO

L'insegnamento ha l’obiettivo di fornire una prima introduzione alla teoria dei campi finiti, alle varietà algebriche su campi finiti e allo studio di alcune strutture geometriche finite, con particolare riguardo alle loro proprietà algebriche e combinatorie caratteristiche.

- Cameron P. J., van Lint J.H.: Designs, graphs, codes and their links, London Mathematical Society, Student Texts 22, 1991. QMW Math Notes 13.
- Lidl R., Niederreiter H.: Finite Fields, Encyclopedia of Matehmatics and its Applications 20, Cambridge University Press.
- Mazzocca F.: Note di Geometria Combinatoria. Cromografica Roma S.r.l., Roma, per il Gruppo Editoriale l’Espresso S.p.A., 2013.
- Mazzocca F: Appunti delle lezioni, A.A. 2015/16, (in distribuzione gratuita nel corso delle lezioni).
- Small C., Arithmetic of finite fields, Pure and Applied mathematics 148, Dekker.

Conoscenza e capacità di comprensione:
L'insegnamento ha l’obiettivo di fornire una prima introduzione alla teoria dei campi finiti, alle varietà algebriche su campi finiti e allo studio di alcune strutture geometriche finite, con particolare riguardo alle loro proprietà algebriche e combinatorie caratteristiche.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà dimostrare di avere familiarità con la teoria dei campi finiti e con alcune strutture geometriche finite quali sottopiani, archi, calotte, blocking set, disegni e codici lineari.

Abilità comunicative:
Al termine dell’insegnamento lo studente dovrà essere in grado di enunciare e dimostrare in maniera rigorosa risultati di base nell’ambito della teoria dei polinomi su campi finiti, delle varietà algebriche su campi finiti e delle proprietà algebriche e combinatorie caratteristiche di alcune strutture geometriche finite.

Elementi di teoria dei campi e dell’anello dei polinomi a coefficienti in un campo in una o più variabili. Nozioni fondamentali di geometria affine e proiettiva. E’ consigliabile aver sostenuto o almeno seguito l’insegnamento della laurea Magistrale Algebra Commutativa.

L'insegnamento si articola in 64 ore (8 CFU) di didattica frontale. Nell’ultima
parte del corso potranno essere proposti agli studenti degli approfondimenti che saranno discussi in aula in forma seminariale.

La prova orale consiste in:
- domande relative alla teoria presentata in aula;
- attività seminariali tenute dallo studente su argomenti di approfondimento eventualmente presentati durante il corso.
Il voto finale risulterà pari alla media ponderata delle due votazioni conseguite e il voto sarà espresso in trentesimi.

Richiami e argomenti preliminari.
Corpi e campi, Anelli dei polinomi a coefficienti in un campo in una variabile. Teoria dei campi: elementi algebrici, estensioni semplici, estensioni algebriche, campo di spezzamento di un polinomio. Spazi proiettivi su campi.

Campi Finiti
Proprietà algebriche dei campi finiti, teorema di esistenza e unicità dei campi finiti, teorema di esistenza ed unicità dei sottocampi di un campo finito, teorema dell’elemento primitivo. Automorfismi di un campo finito. Gruppo dei q-automorfismi di GF(q^n). Spazi proiettivi su campi finiti.

Polinomi e varietà algebriche su campi finiti
Radici dell'unità e potenze. Quadrati e non quadrati di un campo finito di caratteristica dispari. Le funzioni traccia e norma. Risoluzione di un’equazione di 2° grado a coefficienti in GF(q). L'anello dei polinomi in più variabili su un campo finito. Funzioni. Ideali di polinomi e varietà algebriche.
Teorema di Chevally-Warning e conseguenze.

Sottopiani, archi e calotte di ordine massimo
Caratteri di un insieme di punti in un piano proiettivo finito. Sottopiani. Archi in PG(2,q). Ovali e iperovali. Ovali in PG(2,q), q dispari: lemma delle tangenti, teorema di Segre. Iperovali in PG(2; q) ed o-polinomi, q pari: teorema di Segre. Calotte e ovoidi in PG(3,q).

Blocking set
Generalità. Blocking set nei piani proiettivi finiti. Blocking set nei piani proiettivi su un campo di Galois. Blocking set e nuclei nei piani affini su campi di Galois.

Disegni
Prime definizioni ed esempi. Esempi notevoli: piani proiettivi e affini finiti, piani inversivi finiti, disegni associati agli spazi proiettivi finiti. Relazioni tra i parametri di un disegno. Matrici d’incidenza. Costruzioni di disegni da altri disegni. Disegni simmetrici. Il teorema di Bruck-Ryser-Chowla. Restrizioni sui parametri di un disegno simmetrico. Estensioni di 2-disegni simmetrici. I disegni di Mathieu. Quadrati latini e piani finiti. Matrici e 2-disegni di Hadamard. Insiemi di differenze in un gruppo e disegni associati.

Codici lineari e disegni
Generalità sui codici lineari. Distanza di Hamming e correzione di errori. Codici perfetti: i codici di Hamming e i codici di Golay. Codici lineari associati a un disegno. Disegno associato ad un codice lineare: il teorema di Assmus-Mattson. Relazioni tra i codici di Hamming e gli spazi proiettivi. Relazioni tra i disegni di Mathieu e i codici di Golay.

Italian

Introduction to the study of finite geometric structures, with special attention to their characteristic properties of algebraic and combinatorial type.

- Cameron P. J., van Lint J.H.: Designs, graphs, codes and their links, London Mathematical Society, Student Texts 22, 1991. QMW Math Notes 13.
- Lidl R., Niederreiter H.: Finite Fields, Encyclopedia of Matehmatics and its Applications 20, Cambridge University Press.
- Mazzocca F.: Note di Geometria Combinatoria. Cromografica Roma S.r.l., Roma, per il Gruppo Editoriale l’Espresso S.p.A., 2013.
- Mazzocca F: Lecture Notes, A.A. 2015/16, (free distribution during the course).
- Small C., Arithmetic of finite fields, Pure and Applied mathematics 148, Dekker

Knowledge and understanding. Introduction to the study of finite geometric structures, with special attention to their characteristic properties of algebraic and combinatorial type.

Applying knowledge and understanding. At the end of the course the student must prove that he is familiar with finite fields and some geometric structures, such as subplanes, arcs, blocking sets, designs and linear codes.

Communication skills. At the end of the course the student must be able to state and prove results on theory of polynomials over finite fields, algebraic variety over finite fields, characteristic properties of algebraic and combinatorial type on some geometric structures.

Vector spaces and linear algebra. Quadratic forms. Foundamentals of teories of groups, rings and fields. Foundamentals of affine and projective geometry.

Lectures and classes for 64 hours. In the last part of the course seminars can be proposed to students in order to deepen some topics.

Oral examination. Final mark will depend on the weighted average between oral examination on topics treated during lectures and eventual seminars.

Algebraic and geometric foundations. Fields. Rings of polynomials of one variable with coefficients in a field. Field theory: algebraic elements, simple extensions, algebraic extensions, splitting field of a polynomial. Projective spaces over a field. Finite projective and affine planes.
Finite fields. Algebraic properties of finite fields, existence and uniqueness of finite fields, existence and uniqueness of subfields of a finite field, primitive elements. Automorphismsof a finite field. The group of q-automorphisms of GF (q^n). Projective spaces over finite fields.
Polynomials and algebraic varieties over finite fields. Roots of unity and powers. Square and non-square elements in a finite field of odd characteristic. Norm and trace functions. Equations of second degree with coefficients in GF(q). The ring of polynomials in several variables over a finite field. Functions. Ideals of polynomials and algebraic varieties. Chevally-Warning theorem and consequences.
Sub-planes, arcs and caps of maximum order. Intersection numbers of a point set in a finite projective plane. Subplanes. Arcs in PG(2,q). Ovals and hyperovals.. Ovals in PG(2,q), q odd: lemma of tangents, Segre’s theorem. Hyperovals in PG(2,q) and o-polynomials, q even: Segre’s theorem. Caps and ovoids in PG (3,q).
Blocking set. Introduction to blocking set theory and first definitions. Blocking sets in finite projective planes. Blocking sets in projective planes over a Galois field. Blocking set and nuclei in affine planes over Galois fields.
Designs. Introduction to design theory and first definitions. Examples: finite projective and affine planes, finite inversive planes, designs associated to finite projective spaces. Parameters of a design. Incidence matrices. Construction of designs from other designs.
Symmetric designs. Definitions.The Bruck-Ryser-Chowla theorem. Restrictions on the parameters of a symmetric design. Extensions of 2-symmetric designs. The Mathieu designs. Latin squares and finite planes. Matrices and Hadamard 2-designs. Difference sets in a group and associated designs.
Linear codes and designs. Introduction to linear codes. Hamming distance and error correction. Perfect codes: the codes of Golay and Hamming. Linear codes associated with a design. Design associated with a linear code and the Assmus-Mattson theorem. Relationship between Hamming codes and projective spaces.Relations between the designs of Mathieu and the codes of Golay.