ITALIANO

Programma sintetico:

- Introduzione alle equazioni differenziali alle derivate parziali
- Equazioni del primo ordine e metodo delle caratteristiche
- Equazione del calore
- Equazione delle onde
- Equazioni dispersive ed equazione di Schrödinger
- Trasformata di Fourier
- Separazione delle variabili e problemi ai limiti

Fanno parte integrante del programma esercizi ed esempi relativi a tutti gli argomenti trattati.

Alla fine del corso sarà pubblicato il programma dettagliato.

Evans "Partial Differential Equations"

Conoscenza e capacità di comprensione: acquisire i concetti fondamentali della teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali, comprendendone la classificazione, le principali proprietà qualitative e i modelli matematici che descrivono.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione: saper risolvere semplici problemi modello mediante i principali metodi analitici (metodo delle caratteristiche, soluzione fondamentale, trasformata di Fourier, separazione delle variabili) e utilizzare i risultati teorici per discutere esistenza, unicità e comportamento delle soluzioni.

Autonomia di giudizio.: sviluppare la capacità di individuare gli strumenti matematici più appropriati per l'analisi di un problema alle derivate parziali e interpretarne criticamente i risultati.

Abilità comunicative: saper esporre con rigore definizioni, teoremi e dimostrazioni, utilizzando un linguaggio matematico appropriato.

Capacità di apprendere: acquisire le basi necessarie per affrontare corsi avanzati di analisi matematica e ricerca nel campo delle equazioni alle derivate parziali.

È richiesta una buona conoscenza del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e più variabili, dell'algebra lineare e dei principali risultati dell'analisi matematica. Sono inoltre richieste conoscenze elementari di teoria della misura e degli spazi di Lebesgue.

Il corso è articolato in lezioni frontali dedicate allo sviluppo della teoria e all'illustrazione delle principali tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali alle derivate parziali. Durante il corso vengono svolti esempi ed esercizi applicativi che accompagnano gli argomenti teorici. La frequenza, pur non essendo obbligatoria, è fortemente consigliata. Gli studenti sono incoraggiati a partecipare attivamente mediante domande e discussioni sugli argomenti trattati.

L'esame consiste in una prova orale volta ad accertare la comprensione dei concetti teorici, la conoscenza delle principali dimostrazioni e la capacità di applicare i risultati studiati alla risoluzione di problemi relativi alle equazioni differenziali alle derivate parziali. La valutazione è espressa in trentesimi e tiene conto della correttezza delle argomentazioni, del rigore espositivo e della capacità di collegare i diversi argomenti del corso.

Programma orientativo.

Definizione di problema ben posto. Classificazione delle equazioni di secondo ordine in ellittiche, iperboliche e paraboliche.

Equazione del trasporto. Metodo delle caratteristiche per l'equazione del trasporto.
Metodo delle caratteristiche per equazioni del primo ordine non lineari. Equazione di Burgers.

Equazione del calore, soluzioni auto-similari per l'equazione del calore, soluzione fondamentale. Esistenza di soluzioni classiche. Esistenza di soluzioni per dati iniziali in spazi di Lebesgue.
Teorema di Weierstrass: approssimazione di funzioni continue con polinomi grazie all'equazione del calore. Equazione del calore non omogenea: principio di Duhamel. Esempio di Tychonoff di non unicità di soluzioni classiche. Principio del massimo (debole) per l'equazione del calore. Solo enunciati: proprietà del valor medio
per l'equazione del calore, principio del massimo (forte) per l'equazione del calore. Unicità della soluzione del problema di Cauchy su domini limitati. Principio del massimo per il
problema di Cauchy per l'equazione del calore in R^n, unicità per soluzioni classiche dell'equazione del calore.
Soluzioni di Barenblatt per l'equazione dei mezzi porosi.

Equazione delle onde. Energia e sua propagazione. Unicità per soluzioni classiche del problema di Cauchy. Equazione delle onde in 1D, formula di D'Alembert. Equazione delle onde in 3D: metodo delle medie sferiche. Equazione delle onde in 3D: formula di Kirchhoff. Equazione delle onde in 2D: formula di Poisson. Dipendenza continua rispetto al dato per l'equazione delle onde. Equipartizione dell'energia.

Soluzioni onde piane di PDE. Equazioni dispersive: definizioni ed esempi. Trasformata di Fourier. Risoluzione dell'equazione del calore con la trasformata di Fourier. Equazione di Schrödinger. Risoluzione del problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger con la trasformata di Fourier. Problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger in spazi di Lebesgue. Velocità infinita di propagazione.

Italian

Course outline:

- Introduction to partial differential equations
- First-order equations and the method of characteristics
- The heat equation
- The wave equation
- Dispersive equations and the Schrödinger equation
- The Fourier transform
- Separation of variables and boundary value problems

Exercises and examples covering all the topics listed above form an integral part of the course.

A detailed syllabus will be made available at the end of the course.

Evans "Partial Differential Equations"

**Knowledge and understanding:** acquire the fundamental concepts of the theory of partial differential equations, including their classification, the main qualitative properties of their solutions, and the mathematical models they describe.

**Applying knowledge and understanding:** be able to solve simple model problems using the main analytical techniques (the method of characteristics, fundamental solutions, the Fourier transform, and separation of variables), and apply theoretical results to discuss the existence, uniqueness, and qualitative behavior of solutions.

**Making judgements:** develop the ability to identify the most appropriate mathematical tools for the analysis of partial differential equation problems and to critically interpret the corresponding results.

**Communication skills:** be able to present definitions, theorems, and proofs with mathematical rigor, using appropriate mathematical terminology.

**Learning skills:** acquire the foundations necessary to undertake advanced courses in mathematical analysis and research in the field of partial differential equations.

A solid background in differential and integral calculus for functions of one and several variables, linear algebra, and the main results of mathematical analysis is required. Basic knowledge of measure theory and Lebesgue spaces is also required.

The course consists of lectures devoted to the development of the theory and the presentation of the main techniques for solving partial differential equations. Throughout the course, examples and applied exercises are provided alongside the theoretical material.

Attendance is not compulsory but is strongly recommended. Students are encouraged to participate actively by asking questions and engaging in discussions on the topics covered.

The exam consists of an oral test aimed at assessing the understanding of theoretical concepts, knowledge of the main proofs, and the ability to apply the results studied to the solution of problems related to partial differential equations.

The grade is expressed on a scale of 30 and takes into account the correctness of the arguments, the rigor of the presentation, and the ability to connect the different topics covered in the course.

Tentative program.

Definition of a well-posed problem. Classification of second-order equations into elliptic, hyperbolic, and parabolic.

Transport equation. Method of characteristics for the transport equation.
Method of characteristics for nonlinear first-order equations. Burgers' equation.

Heat equation, self-similar solutions for the heat equation, fundamental solution.
Existence of classical solutions. Existence of solutions for initial data in Lebesgue spaces.
Weierstrass theorem: approximation of continuous functions with polynomials via the heat equation. Non-homogeneous heat equation: Duhamel's principle. Tychonoff's example of non-uniqueness of classical solutions. Weak maximum principle for the heat equation. Statements only: mean value property for the heat equation, strong maximum principle for the heat equation. Uniqueness of the solution to the Cauchy problem on bounded domains. Maximum principle for the Cauchy problem for the heat equation in R^n, uniqueness of classical solutions to the heat equation.
Barenblatt solutions for the porous medium equation.

Wave equation. Energy and its propagation.
Uniqueness of classical solutions to the Cauchy problem.
Wave equation in 1D: D'Alembert's formula.
Wave equation in 3D: spherical means method.
Wave equation in 3D: Kirchhoff's formula.
Wave equation in 2D: Poisson's formula.
Continuous dependence on initial data for the wave equation.
Energy equipartition.

Plane wave solutions of PDEs. Dispersive equations: definitions and examples.
Fourier transform.
Solving the heat equation with the Fourier transform.
Schrödinger equation.
Solving the Cauchy problem for the Schrödinger equation with the Fourier transform.
Cauchy problem for the Schrödinger equation in Lebesgue spaces.
Infinite propagation speed.