INGLESE

L’insegnamento fornisce le nozioni fondamentali della Teoria della Probabilità e del Calcolo delle Probabilità, con focus sulla modellizzazione probabilistica di fenomeni reali. Il programma affronta: (1) Elementi di calcolo combinatorio; (2) Probabilità elementare e proprietà assiomatiche; (3) Probabilità condizionata, indipendenza e teoremi fondamentali; (4) Variabili aleatorie discrete e continue, distribuzioni, momenti; (5) Teoremi fondamentali della Teoria della Probabilità (Legge dei Grandi Numeri, Teorema Centrale del Limite); (6) Nozione di processo stocastico e applicazioni.

K. A. Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Boston, Pearson 2019, pp. 544.
Stanley H. Chan, Introduction to Probability for Data Science
Michigan Publishing, 2021.
Appunti e materiale didattico fornito dal docente sulla piattaforma e-learning di Ateneo.

Al termine dell’insegnamento, lo studente dovrà aver acquisito:

Conoscenza e capacità di comprensione: Comprendere i concetti fondamentali della Teoria della Probabilità; conoscere le variabili aleatorie, le loro distribuzioni e i momenti; padroneggiare i teoremi fondamentali della probabilità.
Utilizzazione delle conoscenze e capacità di comprensione: Saper risolvere problemi applicando le metodologie di calcolo delle probabilità; modellare fenomeni probabilistici utilizzando variabili aleatorie, leggi di probabilità e probabilità condizionate.
Capacità di trarre conclusioni (Autonomia di giudizio): Valutare criticamente la pertinenza del modello probabilistico scelto rispetto al problema; interpretare consapevolmente i risultati ottenuti.
Abilità comunicative: Saper esprimere in modo chiaro i risultati delle analisi probabilistiche e discutere le scelte metodologiche utilizzando un linguaggio tecnico-matematico appropriato.
Capacità di apprendere: Disporre delle competenze metodologiche per approfondire autonomamente argomenti avanzati della probabilità e della statistica matematica.

Si richiede una buona conoscenza dell’algebra elementare e dell’analisi matematica delle funzioni di una variabile.

L’insegnamento prevede 48 ore totali (6 CFU), così articolate:
Lezioni frontali (32 ore) dedicate alla presentazione della teoria e dei concetti fondamentali.
Sessioni di discussione e risoluzione di problemi (16 ore) per l’approfondimento pratico con numerosi esempi e esercizi. La frequenza è caldamente consigliata.

La verifica prevede due prove integrate:

Prova scritta (1 ora): Domande teoriche e esercizi di calcolo delle probabilità. La prova richiede di rispondere a quesiti teorici e risolvere problemi applicativi che verifichino la comprensione dei concetti e la capacità di applicazione.
Prova orale (20 minuti): Discussione della prova scritta, verifica della padronanza concettuale e della capacità di argomentazione.
Struttura della valutazione: Il voto finale (in trentesimi) è determinato dalla media ponderata: 40% prova scritta + 60% prova orale.

Parametri di valutazione: La valutazione considera: (1) correttezza della risoluzione di problemi probabilistici, (2) comprensione profonda dei teoremi e dei concetti, (3) capacità di sintesi e argomentazione, (4) proprietà di linguaggio matematico.

Voto Descrittore Criteri di Valutazione (Rubrica)
30 - 30L Eccellente padronanza di tutti i concetti probabilistici; risoluzione corretta e consapevole di problemi complessi; argomentazione teorica impeccabile; linguaggio matematico perfetto.
26 - 29 Ottima conoscenza dei teoremi fondamentali; risoluzione corretta di problemi standard; buona comprensione critica; buon linguaggio matematico.
22 - 25 Discreta conoscenza dei concetti principali; risoluzione corretta di problemi base; capacità critica sufficiente; linguaggio matematico adeguato.
18 - 21 Requisiti minimi: Conoscenza basilare delle variabili aleatorie, delle distribuzioni di probabilità e dei teoremi fondamentali; capacità di risolvere esercizi semplici; proprietà linguistica minima.

Ricevimento dopo ogni lezione e su appuntamento.
Gli appunti completi del corso saranno resi disponibili dal docente sulla piattaforma Teams.

Calcolo Combinatorio (0.25 CFU / 2 ore):
Fattoriale, disposizioni (semplici e con ripetizioni), permutazioni, combinazioni, coefficienti binomiali.
Probabilità Elementare (0.5 CFU / 4 ore):
Definizione classica, frequenza relativa e probabilità.
Proprietà assiomatiche della probabilità con esempi ed esercizi.
Probabilità Condizionata e Indipendenza (1.25 CFU / 10 ore):
Probabilità condizionata, dipendenza e indipendenza di eventi.
Teoremi fondamentali: doppio condizionamento, moltiplicazione, legge delle alternative.
Legge di Bayes con applicazioni.
Variabili Aleatorie Discrete (1.25 CFU / 10 ore):
Nozione di variabile aleatoria, valore atteso, varianza.
Funzioni di variabili aleatorie.
Variabili aleatorie congiunte: indipendenza, dipendenza, somma e prodotto.
Variabili Aleatorie Speciali (1 CFU / 8 ore):
Variabile dicotomica, uniforme, binomiale, geometrica, binomiale negativa.
Variabile di Poisson, Distribuzione di Gauss.
Teoremi Fondamentali (1 CFU / 8 ore):
Teoremi su valori attesi e varianze; variabili aleatorie standardizzate.
Disuguaglianza di Chebyshev, Legge dei Grandi Numeri e applicazioni in Statistica.
Teorema Centrale del Limite e applicazioni in Statistica.
Processi Stocastici e Applicazioni (0.75 CFU / 6 ore integrative): Nozione di processo stocastico; esempi e applicazioni.

English

The teaching provides fundamental knowledge of probability theory and the calculus of probabilities, with focus on probabilistic modeling of real phenomena. The program covers: (1) Elements of combinatorial calculus; (2) Elementary probability and axiomatic properties; (3) Conditional probability, independence, and fundamental theorems; (4) Discrete and continuous random variables, distributions, moments; (5) Fundamental theorems of probability theory (Law of Large Numbers, Central Limit Theorem); (6) Notion of stochastic process and applications.

K. A. Ross, A First Course in Probability, 10th ed., Boston, Pearson 2019, pp. 544.
Stanley H. Chan, Introduction to Probability for Data Science
Michigan Publishing, 2021.
Lecture notes and teaching materials provided on the e-learning platform.

Knowledge and understanding: Understanding fundamental concepts of probability theory; knowing random variables, their distributions and moments; mastering fundamental theorems.
Applying knowledge: Solving problems using probability calculus methodologies; modeling probabilistic phenomena using random variables, probability laws, and conditional probabilities.
Making judgements: Critically evaluating the pertinence of the chosen probabilistic model; interpreting results consciously.
Communication skills: Clearly expressing results of probabilistic analyses and discussing methodological choices using appropriate technical-mathematical language.
Learning skills: Possessing methodological competencies for autonomously deepening advanced probability and mathematical statistics topics.

Good knowledge of elementary algebra and mathematical analysis of single-variable functions is required.

48 total hours (6 CFU): 32h of theoretical lectures and 16h of discussion sessions and problem-solving with numerous examples.

Two integrated assessments:
Written exam (1 hour): Theoretical questions and probability calculation exercises.
Oral exam (20 min): Discussion of written exam; verification of conceptual mastery.
Evaluation structure: Final grade = 40% written + 60% oral.

Evaluation parameters: (1) Correct problem-solving, (2) Deep concept understanding, (3) Synthesis and argumentation ability, (4) Mathematical language proficiency.

Grade Assessment Criteria
30 - 30L Excellent mastery of all probabilistic concepts; correct and conscious solution of complex problems; impeccable theoretical argumentation; perfect mathematical language.
26 - 29 Solid knowledge of fundamental theorems; correct solution of standard problems; good critical understanding; good mathematical language.
22 - 25 Fair knowledge of main concepts; correct solution of basic problems; sufficient critical ability; adequate mathematical language.
18 - 21 Minimum requirements: Basic knowledge of random variables, probability distributions, fundamental theorems; ability to solve simple exercises; minimal language proficiency.

Additional explanations for students after each lesson and also on request.
Complete course notes will be made available by the instructor on Teams.

Combinatorial Calculus (0.25 CFU / 2h): Factorials, permutations, combinations, binomial coefficients.
Elementary Probability (0.5 CFU / 4h): Classical definition, axiomatic properties, examples.
Conditional Probability (1.25 CFU / 10h): Independence, fundamental theorems, Bayes’ law.
Discrete Random Variables (1.25 CFU / 10h): Expected value, variance, joint distributions.
Special Random Variables (1 CFU / 8h): Binomial, Poisson, Gaussian distributions.
Fundamental Theorems (1 CFU / 8h): Chebyshev inequality, Law of Large Numbers and applications in Statistics, Central Limit Theorem and applications in Statistics.
Stochastic Processes (0.75 CFU / 6h): Notion and applications.