ITALIANO

Nozioni di teoria dei gruppi e dei campi necessari per la comprensione del teorema fondamentale della teoria di Galois e alcune delle principali applicazioni

Ian Stewart, “Galois Theory”, Chapman Hall/Crc Mathematics, New York, 2009.
J. Milne, Fields and Galois Theory

Lo studente dovrà mostrare di aver compresogli argomenti trattati e di essere in grado di utilizzarli per la risoluzione di esercizi

Nozioni di base su gruppi, anelli e campi.

Lezioni frontali e risoluzione di esercizi

Prova orale

Estensioni di campi. Elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico. Estensioni algebriche e trascendenti. Teorema di Kroneker. Campo di spezzamento di un polinomio. Esistenza e unicità del campo di spezzamento. Radici multiple. Isomorfismi di campi. Teorema di prolungamento. Gruppo di Galois di un’estensione e di un polinomio. Estensioni normali e separabili. Chiusura normale. Campi perfetti Estensioni di Galois. Teorema fondamentale della teoria di Galois. Campi algebricamente chiusi: definizione e caratterizzazioni. Chiusura algebrica di un campo. Teorema di esistenza e di unicità (a meno di isomorfismi) della chiusura algebrica di un campo. Teorema fondamentale dell’algebra. Teorema dell’elemento primitivo. Il problema della ciclotomia. Estensioni radicali. Equazioni risolubili per radicali. Estensioni cicliche ed abeliane. Risolvente di Lagrange. Gruppi risolubili. Teorema di Galois. Polinomi simmetrici. Teorema di Ruffini-Abel. Calcolo del gruppo di Galois di alcuni polinomi.

Italian

Ian Stewart, “Galois Theory”, Chapman Hall/Crc Mathematics, New York, 2009.
J. Milne, Fields and Galois Theory

Basic knowledges on groups, rings and fields.

Lectures and exercises

Oral exam

Field extensions. Algebraic and transcendental elements. Minumum polynomial of an algebraic element. Algebraic and transcendental extensions. Kronecker theorem. Splitting fields, existence and uniqueness. Multiple roots. Isomorphisms of fields. Galois group of a polynomial. Separable and normal extensions. Normal closure. Perfect fields. Fundamental theorem of Galois theory. Algebraically closed fields, algebraic closure of a field. Fundamental theorem of algebra. Primitive element theorem. Ciclotomic extensions. Radical extensions. Solvability of equations. Solvable groups and Galois theorem. Symmetric polynomials. Ruffini-Abel theorem. Computing Galois groups.