ITALIANO

MODULO I: ANALISI COMPLESSA

• Funzioni complesse di variabile complessa e continuità

• Funzioni olomorfe

• Integrale curvilineo di una funzione complessa (e continua) lungo una curva regolare a tratti

• Primitive di funzioni complesse

• Formule integrali di Cauchy

• Successioni e serie di funzioni complesse

• Serie di potenze e funzioni analitiche

• Serie di Laurent e singolarità isolate

• Residui

• Trasformata di Fourier

• Trasformata di Laplace

MODULO II: EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

• Esistenza e unicità per il problema di Cauchy

• Prolungamento e intervalli massimali

• Lemma di Gronwall

• Dipendenza dai dati iniziali

• Risoluzione di equazioni lineari (e sistemi)

• Equazioni lineari con condizioni al bordo

• Equazioni autonome nonlineari (analisi locale, stabilità dei punti di equilibrio, analisi globale)

• Qualche modello dalla biologia

MODULO I

F.J. Flanigan, Complex Variables

S. Lang, Complex Analysis

L.V. Ahlfors, Complex Analysis

R.E. Greene, S.G. Krantz, Function theory of one complex variable

MODULO II

C. Mascia, EDO equazioni differenziali ordinarie, Pitagora

L. Piccinini, G. Stampacchia, G. Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Liguori

M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag;

V.I. Arnol'd, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag;

E.A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill

L'insegnamento si articola in 2 moduli.

Il MODULO I è relativo allo studio delle funzioni di una variabile complessa, il MODULO II è relativo allo studio qualitativo e alla risoluzione esplicita delle equazioni differenziali ordinarie.

I principali obiettivi formativi del corso sono pertanto, per il MODULO I:

• introdurre le principali funzioni elementari di variabile complessa;
• introdurre il concetto di funzione olomorfa e le sue principali proprietà;
• introdurre e classificare le singolarità di funzioni di variabile complessa;
fornire metodi di integrazioni di funzioni di variabile complessa;
• studiare proprietà di base della trasformata di Fourier e sue applicazioni

per il MODULO II:

• introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie;
• fornire metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari;
• fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale

conoscenza dei numeri complessi, conoscenza di
elementi di topologia di base

64h di lezioni frontali, principalmente alla lavagna, con il possibile utilizzo di strumenti audiovisivi.

L'esame consta di una prova scritta e di una orale, Tutte e due le prove sono obbligatorie. La prova scritta è propedeutica alla prova orale. Durante il corso può inoltre essere previsto lo svolgimento di
una o più prove scritte parziali in sostituzione di una parte o di tutta la prova scritta.

Lo scritto consiste nello svolgimento di alcuni esercizi sia teorici sia di calcolo, analoghi a quelli presentati a
lezione. Durante la prova scritta non si possono utilizzare calcolatrici, computer, etc. e non si possono
consultare libri, quaderni, appunti o formulari. La prova scritta viene valutata in trentesimi. Il punteggio minimo
per superare lo scritto è di 18/30.

La prova orale consiste in una discussione relativa agli argomenti del programma del corso.

Il voto finale tiene conto del voto dello scritto e della prova orale

Per il programma completo si rinvia al sito docente

Italian

MODULE I: Complex Analysis

• Complex functions of complex variable and continuity

• Holomorphic functions

• Integrals on curves of a complex function (and continue) along a curve

• Primitive of complex functions

• Cauchy integral formula

• Sequences and series of complex functions

• Power series and analytic functions

• Laurent series and isolated
singularities

• Residue theorem

• Fourier transform

• Laplace transform

MODULE II: ODE

• Existence and uniqueness for the Cauchy problem

• Extensions and maximal intervals

• Gronwall Lemma

• Dependence of initial data

• Solutions of linear quations (and systems)

• Linear equations with boundary conditions

• Nonlinear autonomous equations (local analysis, stability of equilibrium points, global analysis)

• Some model from biology

MODULE I

F.J. Flanigan, Complex Variables

S. Lang, Complex
Analysis

L.V. Ahlfors, Complex Analysis

R.E. Greene, S.G. Krantz, Function theory of one complex variable

MODULE II

C. Mascia, EDO equazioni differenziali ordinarie, Pitagora
L. Piccinini, G. Stampacchia, G. Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Liguori

M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag;

V.I. Arnol'd, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag;

E.A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill

The course is divided in two parts.

The first part (MODULE I) is related to the study of functions of a complex variable, the second part (MODULE II) is related to the qualitative study and to the explicit solutions of ordinary differential equations.

The main goals of the course are: for MODULE I:

• to introduce the main elementary functions of a complex variable;
• to introduce the concept of holomorphic function and its main properties;
• to introduce and to classify the singularities of functions of a complex variable;
to provide methods for integrating functions of a complex variable;
• to study the basic properties of Fourier transform and its applications.

For MODULE II:

• to introduce the student to the concepts and to the main problems connected to the ordinary differential equations (ODE);
• to provide methods to solve systems of ODE linear and nonlinear;
• to provide instruments for qualitative study of solutions of an ODE.

knowledge of complex number and of element of basic topology

Classroom lessons and exercises

The exam constists of a written and oral test. Both are mandatory. The written exam is preparatory to the oral exam. During the course can be planned to do one or more partial written test that substitute one or the total written exam.
The written test will consist of a series of exercises both theoretical and of calculus, as done during the lessons. During the written exam one cannot use calculators, computers, etc. and one cannot see books, notebooks, notes or formulary. The unit of measure used for the written test is the vote over 30. The minimum mark in order to pass the written test is 18/30.
The oral test will consist of a series of questions on the topics discussed at the course.

The final mark takes into account of the mark of the written test and of the oral test.

For the full programme one can consult the website of the professor

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MODULO I: ANALISI COMPLESSA

• Funzioni complesse di variabile complessa e continuità

• Funzioni olomorfe

• Integrale curvilineo di una funzione complessa (e continua) lungo una curva regolare a tratti

• Primitive di funzioni complesse

• Formule integrali di Cauchy

• Successioni e serie di funzioni complesse

• Serie di potenze e funzioni analitiche

• Serie di Laurent e singolarità isolate

• Residui

• Trasformata di Fourier

• Trasformata di Laplace

MODULO II: EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE

• Esistenza e unicità per il problema di Cauchy

• Prolungamento e intervalli massimali

• Lemma di Gronwall

• Dipendenza dai dati iniziali

• Risoluzione di equazioni lineari (e sistemi)

• Equazioni lineari con condizioni al bordo

• Equazioni autonome nonlineari (analisi locale, stabilità dei punti di equilibrio, analisi globale)

• Qualche modello dalla biologia

MODULO I

F.J. Flanigan, Complex Variables

S. Lang, Complex Analysis

L.V. Ahlfors, Complex Analysis

R.E. Greene, S.G. Krantz, Function theory of one complex variable

MODULO II

C. Mascia, EDO equazioni differenziali ordinarie, Pitagora

L. Piccinini, G. Stampacchia, G. Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Liguori

M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag;

V.I. Arnol'd, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag;

E.A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill

L'insegnamento si articola in 2 moduli.

Il MODULO I è relativo allo studio delle funzioni di una variabile complessa, il MODULO II è relativo allo studio qualitativo e alla risoluzione esplicita delle equazioni differenziali ordinarie.

I principali obiettivi formativi del corso sono pertanto, per il MODULO I:

• introdurre le principali funzioni elementari di variabile complessa;
• introdurre il concetto di funzione olomorfa e le sue principali proprietà;
• introdurre e classificare le singolarità di funzioni di variabile complessa;
fornire metodi di integrazioni di funzioni di variabile complessa;
• studiare proprietà di base della trasformata di Fourier e sue applicazioni

per il MODULO II:

• introdurre lo studente ai concetti e alle problematiche principali legate alle equazioni differenziali ordinarie;
• fornire metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali lineari e non lineari;
• fornire strumenti per lo studio qualitativo delle soluzioni di un'equazione differenziale

conoscenza dei numeri complessi, conoscenza di
elementi di topologia di base

64h di lezioni frontali, principalmente alla lavagna, con il possibile utilizzo di strumenti audiovisivi.

L'esame consta di una prova scritta e di una orale, Tutte e due le prove sono obbligatorie. La prova scritta è propedeutica alla prova orale. Durante il corso può inoltre essere previsto lo svolgimento di
una o più prove scritte parziali in sostituzione di una parte o di tutta la prova scritta.

Lo scritto consiste nello svolgimento di alcuni esercizi sia teorici sia di calcolo, analoghi a quelli presentati a
lezione. Durante la prova scritta non si possono utilizzare calcolatrici, computer, etc. e non si possono
consultare libri, quaderni, appunti o formulari. La prova scritta viene valutata in trentesimi. Il punteggio minimo
per superare lo scritto è di 18/30.

La prova orale consiste in una discussione relativa agli argomenti del programma del corso.

Il voto finale tiene conto del voto dello scritto e della prova orale

Per il programma completo si rinvia al sito docente

Italian

MODULE I: Complex Analysis

• Complex functions of complex variable and continuity

• Holomorphic functions

• Integrals on curves of a complex function (and continue) along a curve

• Primitive of complex functions

• Cauchy integral formula

• Sequences and series of complex functions

• Power series and analytic functions

• Laurent series and isolated
singularities

• Residue theorem

• Fourier transform

• Laplace transform

MODULE II: ODE

• Existence and uniqueness for the Cauchy problem

• Extensions and maximal intervals

• Gronwall Lemma

• Dependence of initial data

• Solutions of linear quations (and systems)

• Linear equations with boundary conditions

• Nonlinear autonomous equations (local analysis, stability of equilibrium points, global analysis)

• Some model from biology

MODULE I

F.J. Flanigan, Complex Variables

S. Lang, Complex
Analysis

L.V. Ahlfors, Complex Analysis

R.E. Greene, S.G. Krantz, Function theory of one complex variable

MODULE II

C. Mascia, EDO equazioni differenziali ordinarie, Pitagora
L. Piccinini, G. Stampacchia, G. Vidossich, Equazioni differenziali ordinarie in R^n, Liguori

M. Braun, Differential Equations and Their Applications, Springer-Verlag;

V.I. Arnol'd, Ordinary Differential Equations, Springer-Verlag;

E.A. Coddington, N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw-Hill

The course is divided in two parts.

The first part (MODULE I) is related to the study of functions of a complex variable, the second part (MODULE II) is related to the qualitative study and to the explicit solutions of ordinary differential equations.

The main goals of the course are: for MODULE I:

• to introduce the main elementary functions of a complex variable;
• to introduce the concept of holomorphic function and its main properties;
• to introduce and to classify the singularities of functions of a complex variable;
to provide methods for integrating functions of a complex variable;
• to study the basic properties of Fourier transform and its applications.

For MODULE II:

• to introduce the student to the concepts and to the main problems connected to the ordinary differential equations (ODE);
• to provide methods to solve systems of ODE linear and nonlinear;
• to provide instruments for qualitative study of solutions of an ODE.

knowledge of complex number and of element of basic topology

Classroom lessons and exercises

The exam constists of a written and oral test. Both are mandatory. The written exam is preparatory to the oral exam. During the course can be planned to do one or more partial written test that substitute one or the total written exam.
The written test will consist of a series of exercises both theoretical and of calculus, as done during the lessons. During the written exam one cannot use calculators, computers, etc. and one cannot see books, notebooks, notes or formulary. The unit of measure used for the written test is the vote over 30. The minimum mark in order to pass the written test is 18/30.
The oral test will consist of a series of questions on the topics discussed at the course.

The final mark takes into account of the mark of the written test and of the oral test.

For the full programme one can consult the website of the professor