ITALIANO

- Successioni e serie di funzioni. Successioni di funzioni: convergenza puntuale e uniforme. Serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor. Serie di Fourier.
- R^n. Norme e completezza.
- Funzioni di più variabili. Nozioni di topologia in R^n. Limiti e continuità. Derivate parziali. Derivate successive. Gradiente. Differenziabilità. Derivate direzionali. Funzioni omogenee. Formula di Taylor per funzioni di più variabili al secondo ordine.
Forme quadratiche definite, semidefinite e indefinite. Massimi e minimi relativi.
Funzioni a valori vettoriali.
- Equazioni differenziali ordinarie. Approfondimento teorico sull’integrale generale di una equazione differenziale lineare. Problema di Cauchy. Teorema di Cauchy di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza e unicità globale. Prolungabilità delle soluzioni. Analisi qualitativa delle soluzioni.
- Curve e integrali curvilinei. Curve regolari. Curve orientate. Lunghezza di una curva. Integrale curvilineo di una funzione. Curvatura di una curva piana. Il prodotto vettoriale in R^3.
Curve biregolari in R^3. Curvatura.
- Forme differenziali lineari. Campi vettoriali. Lavoro. Campi conservativi.
- Forme differenziali lineari. Integrale curvilineo di una forma differenziale lineare. Forme differenziali esatte. Campi irrotazionali.
- Integrali multipli. Integrali doppi su domini normali. Formule di riduzione. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Cambiamento di variabili negli integrali doppi. Integrali tripli.
- Superfici e integrali di superficie. Superfici regolari. Coordinate locali e cambiamento di parametri.
Piano tangente e versore normale. Area. Superfici orientabili. Superfici con bordo. Integrali di superficie. Formula di Stokes. Teorema della divergenza.
- Funzioni implicite. I teoremi di Dini. Invertibilità locale e globale.
- Massimi e minimi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange.

Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti.

Testi Consigliati:

• N.FUSCO, P.MARCELLINI, C.SBORDONE, Analisi Matematica due, Liguori Editore, 1998.
• M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Analisi Matematica due, Zanichelli Editore, 2009.
• S. SALSA, A. SQUELLATI, Esercizi di Matematica. Calcolo infinitesimale, volume 1 e volume 2, Zanichelli Editore, 2011.
• P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, volume I (parte prima e parte seconda) e volume II (parte prima e parte seconda), Liguori Editore, 1994.
• E. GIUSTI, Analisi Matematica Due, Bollati Boringhieri Editore, 2003.
• E. GIUSTI, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, volume 2, Bollati Boringhieri Editore, 1992.
• J. STEWART, Calculus. Early Transcendentals. Eight Edition. Nelson Education, Ltd, 2014 (https://www.pdfdrive.net/calculus-early-transcendentals-8th-ed-2015pdf-d27097109.html).

Obiettivi formativi e risultati di apprendimento attesi:

Conoscenza e capacità di comprensione:
Fare acquisire agli studenti una buona conoscenza della teoria e delle applicazioni del calcolo differenziale per funzioni di più variabili, delle serie di funzioni, del calcolo integrale per funzioni di più variabili, delle forme differenziali e degli integrali curvilinei, e delle equazioni differenziali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno avere acquisito familiarità con i concetti relativi ai vari punti del programma e dimostrare di essere in grado di applicarli.

Abilità comunicative:
Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno dimostrare di essere in grado di esporre con chiarezza i concetti relativi ai vari punti del programma.

Propedeuticità/Prerequisiti:
Analisi Matematica 1, Geometria 1, per gli studenti del Corso di Laurea in Matematica;
Analisi Matematica 1, Geometria per gli studenti del Corso di Laurea in Fisica.

di Fisica: Geometria)).

Modalità di svolgimento: Lezioni ed esercitazioni in aula.

Modalità di accertamento del profitto: Superamento di una prova orale e di una prova scritta.
Sono previste prove intercorso, il superamento delle quali garantisce solo l’ammissione (piena, con riserva, o con riserva estrema) all’esame orale. Il voto sarà assegnato all’esame orale in trentesimi.

Materiale didattico:
http://www.matfis.unina2.it/dipartimento/docenti/41-d-aniello-emma

Alla fine del corso sarà pubblicato il programma dettagliato.

Italian

-Sequences and series of functions. Sequences of functions: pointwise and uniform convergence.
Series of functions. Power series. Taylor series. Fourier series.
-The space R^n. Norms and completeness.
- Functions of several variables. Topology notions in Rn. Limits and continuity. Partial derivatives. Higher order derivatives. Schwarz Theorem. Gradient. Differentiability. Directional derivatives.
Homogeneous functions.
Second order Taylor's formula for functions of several variables.
Quadratic forms, definite, semidefinite and indefinite. Maxima and minima.
Vector valued functions.
-Ordinary differential equations. Theoretical deepening on the general solution of a linear differential equation. Cauchy problem. Existence and local uniqueness. Existence theorem and global uniqueness. Extendibility of solutions.
Qualitative analysis of solutions.
- Curves and integrals. Regular curves. Oriented curves. Length of a curve. Line integrals. Curvature of a plane curve. Vector (cross) product in R^3.
Biregular curves in R^3. Curvature.
- Differential linear forms. Vector fields. Work. Conservative fields. Linear differential forms. Curvilinear integral of a differential linear form. Exact differential forms.
Irrotational fields.
-Multiple integrals. Double integrals on normal domains. Reduction formulas for double integrals.
Gauss-Green formulas. Divergence theorem. Stokes formula. Change of variables in double integrals. Triple integrals.
-Surfaces and surface integrals. Smooth surfaces. Local coordinates and change of parameters.
Tangent plane and normal unit vector. Area of a surface. Spherical surfaces. Surfaces with boundary. Surface integrals. Stokes formula. Divergence theorem.
- Implicit functions. Dini theorems. Local and global inverse.
- Constrained maxima and minima and the method of Lagrange multipliers.

Exercises on each of the above mentined topics are an integral part of the program.

Recommended books:

• N.FUSCO, P.MARCELLINI, C.SBORDONE, Analisi Matematica due, Liguori Editore, 1998.
• M. BRAMANTI, C.D. PAGANI, S. SALSA, Analisi Matematica due, Zanichelli Editore, 2009.
• S. SALSA, A. SQUELLATI, Esercizi di Matematica. Calcolo infinitesimale, volume 1 e volume 2, Zanichelli Editore, 2011.
• P. MARCELLINI, C. SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, volume I (parte prima e parte seconda) e volume II (parte prima e parte seconda), Liguori Editore, 1994.
• E. GIUSTI, Analisi Matematica Due, Bollati Boringhieri Editore, 2003.
• E. GIUSTI, Esercizi e Complementi di Analisi Matematica, volume 2, Bollati Boringhieri Editore, 1992.
• J. STEWART, Calculus. Early Transcendentals. Eight Edition. Nelson Education, Ltd, 2014 (https://www.pdfdrive.net/calculus-early-transcendentals-8th-ed-2015pdf-d27097109.html).

Knowledge and understanding:
A good understanding of theory and applications of differential calculus for functions of several variables, of series of functions, of integral calculus for functions of several variables, of differential forms and integrals, and of differential equations.

Applying knowledge and understanding:
At the end of the course, students will be acquainted with the concepts related to the various points of the program and will be able to apply them.

Communication skills:
At the end of the course, students will be able to communicate clearly the concepts related to the various points of the program.

Prerequisites:
Mathematical Analysis 1 (Calculus 1), Geometry 1, for students in Mathematics;
Mathematical Analysis 1 (Calculus 1), Geometry, for students in Physics.

Teaching method: Lectures and classes.

Methods of assessment: Written and oral examinations. Optional intermediate written tests are planned, and the students who pass them are only guaranteed the admission (full, with reserve, or with extreme reserve) to the oral examination. The grade will be assigned after the oral examination, using a 0–30 scale (where the passing grade is 18 out of 30).

Teaching material:
http://www.matfis.unina2.it/dipartimento/docenti/41-d-aniello-emma

At the end of the course the detailed program will be published.